Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método de variação de parâmetros: a)y′′ + y = secx; b)y...

a) A equação diferencial é y'' + y = sec(x). Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + y = 0. A solução geral é yh = c1*cos(x) + c2*sin(x). Agora, procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp = A*cos(x) + B*sin(x). Então, yp' = -A*sin(x) + B*cos(x) e yp'' = -A*cos(x) - B*sin(x). Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea, obtemos: -A*cos(x) - B*sin(x) + A*cos(x) + B*sin(x) = sec(x) -B*sin(x) = sec(x) B = -1/cos(x) Portanto, yp = -1/cos(x)*sin(x). A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1*cos(x) + c2*sin(x) - sin(x)/cos(x). b) A equação diferencial é y'' + y' - 2y = ln(x). Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + y' - 2y = 0. A solução geral é yh = c1*e^(-2x) + c2*e^x. Agora, procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp = A(x)*e^x. Então, yp' = A'(x)*e^x + A(x)*e^x e yp'' = A''(x)*e^x + 2*A'(x)*e^x + A(x)*e^x. Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea, obtemos: A''(x)*e^x + A'(x)*e^x - 2*A(x)*e^x = ln(x) Para encontrar A(x), podemos usar o método da integração por partes. Fazendo u = ln(x) e dv = e^x dx, temos du = dx/x e v = e^x. Então, A(x) = ∫(ln(x)*e^x) dx = ln(x)*e^x - ∫(e^x/x) dx A(x) = ln(x)*e^x - Ei(x)*e^x + C onde Ei(x) é a função integral exponencial. Portanto, yp = (ln(x) - Ei(x))*e^x. A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1*e^(-2x) + c2*e^x + (ln(x) - Ei(x))*e^x. c) A equação diferencial é x^2*y'' + x*y' - y = x^2*e^x. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente, que é x^2*y'' + x*y' - y = 0. A solução geral é yh = c1*x + c2/x. Agora, procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp = A(x)*x*e^x. Então, yp' = A'(x)*x*e^x + A(x)*(x*e^x + e^x) e yp'' = A''(x)*x*e^x + 2*A'(x)*e^x + A(x)*(2*x*e^x + 2*e^x). Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea, obtemos: A''(x)*x*e^x + 2*A'(x)*e^x = e^x Para encontrar A(x), podemos fazer u = A'(x) e dv = e^x dx. Então, du/dx = A''(x) e v = e^x. Integrando por partes, temos: A'(x) = ∫e^x dx = e^x + C1 A(x) = ∫(e^x + C1) dx = e^x + C1*x + C2 Substituindo A(x) em yp, obtemos: yp = (e^x + C1*x + C2)*x*e^x A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1*x + c2/x + (e^x + C1*x + C2)*x*e^x. d) A equação diferencial é y'' + 5y' + 4y = x + 2*e^(-4x). Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + 5y' + 4y = 0. A solução geral é yh = c1*e^(-x) + c2*e^(-4x). Agora, procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp = A*x + B*e^(-4x). Então, yp' = A - 4*B*e^(-4x) e yp'' = -16*B*e^(-4x). Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea, obtemos: -16*B*e^(-4x) + 5*(A - 4*B*e^(-4x)) + 4*(A*x + B*e^(-4x)) = x + 2*e^(-4x) Simplificando, obtemos: (4A - 15B)*e^(-4x) + 4Ax = x + 2*e^(-4x) Igualando os coeficientes de e^(-4x) e x, temos: 4A = 2 4A - 15B = 0 Resolvendo o sistema, encontramos A = 1/2 e B = 2/15. Portanto, yp = (1/2)*x + (2/15)*e^(-4x). A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1*e^(-x) + c2*e^(-4x) + (1/2)*x + (2/15)*e^(-4x). e) A equação diferencial é y'' + y = sec(x)*tan(x). Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' + y = 0. A solução geral é yh = c1*cos(x) + c2*sin(x). Agora, procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp = A(x)*cos(x) + B(x)*sin(x). Então, yp' = -A(x)*sin(x) + A'(x)*cos(x) - B(x)*cos(x) + B'(x)*sin(x) e yp'' = -A(x)*cos(x) - A'(x)*sin(x) - B(x)*sin(x) + B'(x)*cos(x). Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea, obtemos: -A(x)*cos(x) - A'(x)*sin(x) - B(x)*sin(x) + B'(x)*cos(x) + A(x)*cos(x) + B(x)*sin(x) = sec(x)*tan(x) A'(x)*sin(x) - B'(x)*cos(x) = sec(x)*tan(x) Para encontrar A(x) e B(x), podemos usar o método da integração por partes. Fazendo u = sec(x) e dv = tan(x) dx, temos du = sec(x)*tan(x) dx e v = ln|sec(x) + tan(x)|. Então, A(x) = ∫(ln|sec(x) + tan(x)|*tan(x)) dx B(x) = ∫(ln|sec(x) + tan(x)|*sec(x)) dx Não há uma fórmula fechada para essas integrais, então a solução particular é um pouco complicada. A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1*cos(x) + c2*sin(x) + A(x)*cos(x) + B(x)*sin(x). f) A equação diferencial é y'' - 2y' + y = sqrt(x). Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente, que é y'' - 2y' + y = 0. A solução geral é yh = c1*e^x + c2*x*e^x. Agora, procuramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp = A(x)*sqrt(x). Então, yp' = (A'(x)/2)*sqrt(x) + A(x)/(2*sqrt(x)) e yp'' = (A''(x)/2)*sqrt(x) - A(x)/(4*x^(3/2)) - (A'(x)/4)*x^(-1/2). Substituindo yp, yp' e yp'' na equação não homogênea, obtemos: (A''(x)/2)*sqrt(x) - A(x)/(4*x^(3/2)) - (A'(x)/4)*x^(-1/2) - 2*((A'(x)/2)*sqrt(x) + A(x)/(2*sqrt(x))) + A(x)*sqrt(x) = sqrt(x) Simplificando, obtemos: (A''(x)/2)*sqrt(x) - (5/4)*A(x)/(x^(3/2)) - (3/4)*(A'(x)/x^(1/2)) = 0 Para encontrar A(x), podemos fazer u = A'(x) e dv = x^(-1/2) dx. Então, du/dx = A''(x) e v = 2*x^(1/2). Integrando por partes, temos: A'(x) = ∫x^(-1/2) dx = 2*x^(1/2) + C1 A(x) = ∫(2*x^(1/2) + C1) dx = (4/3)*x^(3/2) + C1*x + C2 Substituindo A(x) em yp, obtemos: yp = ((4/3)*x^(3/2) + C1*x + C2)*sqrt(x) A solução geral da equação diferencial é y = yh + yp = c1*e^x + c2*x*e^x + ((4/3)*x^(3/2) + C1*x + C2)*sqrt(x).