Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais não-homogêneas pelo método de variação de parâmetros considerando as soluç...

Para resolver essas equações diferenciais não homogêneas pelo método de variação de parâmetros, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Encontre a solução da equação homogênea associada, que é a equação sem o termo não homogêneo. Para isso, basta substituir o termo não homogêneo por zero na equação original e resolver a equação homogênea resultante. 2. Encontre a solução particular da equação não homogênea. Para isso, é necessário assumir uma solução particular da equação não homogênea e substituí-la na equação original. A solução particular deve ser escolhida de acordo com o termo não homogêneo da equação. 3. Encontre a solução geral da equação não homogênea. Para isso, basta somar a solução da equação homogênea com a solução particular da equação não homogênea. Aplicando esses passos às equações fornecidas, temos: (a) A equação homogênea associada é x^2y'' - 2xy' + 2y = 0. A solução geral dessa equação é y(x) = c1x + c2x^(-1). Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma solução particular da forma yp(x) = Axex, onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo essa solução na equação original, obtemos A = 1/2. Portanto, a solução particular é yp(x) = (1/2)ex. A solução geral da equação não homogênea é y(x) = c1x + c2x^(-1) + (1/2)ex. (b) A equação homogênea associada é x^2y'' - 2xy' + 2y = 0. A solução geral dessa equação é y(x) = c1x + c2x^(-1). Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma solução particular da forma yp(x) = Axlnx + Bx, onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo essa solução na equação original, obtemos A = -1/2 e B = 1/4. Portanto, a solução particular é yp(x) = (-1/2)xlnx + (1/4)x. A solução geral da equação não homogênea é y(x) = c1x + c2x^(-1) + (-1/2)xlnx + (1/4)x. (c) A equação homogênea associada é (x + 2)y'' - (2x + 5)y' + 2y = 0. A solução geral dessa equação é y(x) = c1e^(-2x) + c2e^x/2. Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma solução particular da forma yp(x) = Ax + B, onde A e B são constantes a serem determinadas. Substituindo essa solução na equação original, obtemos A = 1/2 e B = -1/4. Portanto, a solução particular é yp(x) = (1/2)x - (1/4). A solução geral da equação não homogênea é y(x) = c1e^(-2x) + c2e^x/2 + (1/2)x - (1/4). (d) A equação homogênea associada é xy'' - (2x^2 + 1)y' = 0. A solução geral dessa equação é y(x) = c1 + c2ex^2. Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, assumimos uma solução particular da forma yp(x) = Axex^2, onde A é uma constante a ser determinada. Substituindo essa solução na equação original, obtemos A = 1/2. Portanto, a solução particular é yp(x) = (1/2)xex^2. A solução geral da equação não homogênea é y(x) = c1 + c2ex^2 + (1/2)xex^2.