Sejam os vetores ????1 = (1, 1, 1),????2 = (1, 2, 0) e ????3 = (1, 3, −1). Se (3, −1, ????) Є [????1 ,????2 ,????3], qual o valor de ????? a) k = 0 b) k = 1 c) k...

Para que o vetor (3, -1, ?) pertença ao espaço gerado pelos vetores ????1 = (1, 1, 1), ????2 = (1, 2, 0) e ????3 = (1, 3, −1), é necessário que existam escalares k1, k2 e k3 tais que: (3, -1, ?) = k1(1, 1, 1) + k2(1, 2, 0) + k3(1, 3, -1) Igualando as coordenadas, temos: 3 = k1 + k2 + k3 -1 = k1 + 2k2 + 3k3 ? = k1 Substituindo k1 em função de ? na primeira equação, temos: 3 = ? + k2 + k3 Substituindo k1 em função de ? na segunda equação, temos: -1 = ? + 2k2 + 3k3 Podemos resolver esse sistema de equações utilizando o método da eliminação: - Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda, temos: 5 = 2k2 + 5k3 - Substituindo k3 em função de ? na primeira equação, temos: 3 = ? + k2 + (5 - 2k2)/3 9 = 3? + 3k2 + 5 - 2k2 4 = ? + k2 Substituindo ? por k1, temos: ? = k1 = 4 - k2 Substituindo ? por k1 na primeira equação, temos: 3 = (4 - k2) + k2 + k3 k3 = -1 Substituindo k3 em função de ? na segunda equação, temos: -1 = ? + 2k2 + 3(-1) k2 = 2 Substituindo k2 em função de ? em ? = k1, temos: ? = 2 Portanto, a resposta correta é a letra c) k = 2.