determine o valor da constante K para os vetores u(3,4,-5) e V( 5K+2, 1, 7-K)sejam ortogonais

Para que os vetores \( \mathbf{u} = (3, 4, -5) \) e \( \mathbf{v} = (5K + 2, 1, 7 - K) \) sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero. O produto escalar é dado por: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 3(5K + 2) + 4(1) + (-5)(7 - K) \] Calculando isso, temos: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 15K + 6 + 4 - 35 + 5K \] Simplificando: \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 20K - 25 \] Para que os vetores sejam ortogonais, devemos igualar o produto escalar a zero: \[ 20K - 25 = 0 \] Resolvendo para \( K \): \[ 20K = 25 \\ K = \frac{25}{20} \\ K = \frac{5}{4} \] Portanto, o valor da constante \( K \) é \( \frac{5}{4} \).