determine os pontos extremos da função z=x^3+y^3 - 12 x y e classifiqueos

Para determinar os pontos extremos da função z = x^3 + y^3 - 12xy, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Calculando a derivada parcial em relação a x, temos: dz/dx = 3x^2 - 12y Calculando a derivada parcial em relação a y, temos: dz/dy = 3y^2 - 12x Igualando as duas derivadas a zero, temos: 3x^2 - 12y = 0 3y^2 - 12x = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos os pontos extremos: x = 0, y = 0 (ponto de sela) x = 2, y = 2 (mínimo local) x = -2, y = -2 (máximo local) Para classificar os pontos extremos, podemos utilizar o teste da segunda derivada. Calculando as segundas derivadas parciais, temos: d²z/dx² = 6x d²z/dy² = 6y d²z/dxdy = -12 Substituindo os valores dos pontos extremos, temos: Ponto de sela: d²z/dx² < 0 e d²z/dy² > 0 (ou vice-versa) d²z/dx² = 0, d²z/dy² = 0, d²z/dxdy = -12 Logo, o ponto (0,0) é um ponto de sela. Mínimo local: d²z/dx² > 0 e d²z/dy² > 0 d²z/dx² = 12, d²z/dy² = 12, d²z/dxdy = -12 Logo, o ponto (2,2) é um mínimo local. Máximo local: d²z/dx² < 0 e d²z/dy² < 0 d²z/dx² = -12, d²z/dy² = -12, d²z/dxdy = -12 Logo, o ponto (-2,-2) é um máximo local.