Questão resolvida - Sendo ze^ysen(x), x2st e yts Determine zt e zs - Cálculo I - derivada - Regra da cadeia

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Sendo , e . Determine .z = e sen xy ( ) x = 2st3 y = ts3 e 
𝜕z
𝜕t
𝜕z
ds
 
Resolução:
 Queremos as derivadas e , como se trata de uma função cujas variáveis x e y estão 
𝜕z
𝜕t
𝜕z
𝜕s
em função de t e s, devemos derivar z, primeiro, em relação a x e y, logo após, derivar 
ambas em relação a t ou s; como no esquema a seguir;
Matematicamente, fica:
 
 = + 
𝜕z
𝜕t
𝜕z
𝜕x
𝜕x
𝜕t
𝜕z
𝜕y
𝜕y
𝜕t
 
= + 
𝜕z
𝜕s
𝜕z
𝜕x
𝜕x
𝜕s
𝜕z
𝜕y
𝜕y
𝜕s
 
Agora, vamos encontrar cada derivada separamente;
= e cos x
𝜕z
𝜕x
y ( )
 
= 2s 3t² = 6st
𝜕x
𝜕t
( ) →
𝜕x
𝜕t
2
 
 
 
 ou 
𝜕z
𝜕t
𝜕z
𝜕t
x t, s( )
 
𝜕z
𝜕x
 
𝜕z
𝜕y
y t, s( )
 
𝜕x
𝜕t
t
 
𝜕x
𝜕s s
 
𝜕x
𝜕t t
 
𝜕x
𝜕s
s
Se em
 relaçã
o a t
Se em relação a s
Se em re
lação a t
Se em relação a s
= 2 ⋅ 1t = 2t
𝜕x
𝜕s
3
→
𝜕x
𝜕s
3
 
= e sen x
𝜕z
𝜕y
y ( )
 
= 1 ⋅ t = t
𝜕y
𝜕t
3
→
𝜕y
𝜕t
3
 
= t 3s = 3ts
𝜕y
𝜕s
2
→
𝜕y
𝜕s
2
Com isso, é;
𝜕z
𝜕t
 
= e cos x 6st + e sen x t
𝜕z
𝜕t
y ( ) 2 y ( ) 3
 
Mas, e ; então:x = 2st3 y = ts3
 
= e cos 2st 6st + e sen 2st t
𝜕z
𝜕t
ts3 3 2 y 3 3
 
= 6st e cos 2st + t e sen 2st
𝜕z
𝜕t
2 ts
3
3 3 y 3
 
E é:
𝜕z
𝜕s
= e cos x 2t + e sen x 3ts
𝜕z
𝜕s
y ( ) 3 y ( ) 2
 
Como e ; então:x = 2st3 y = ts3
 
= e cos 2st 2t + e sen 2st 3ts
𝜕z
𝜕s
ts3 3 3 ts3 3 2
 
= 2t e cos 2st + 3ts e sen 2st
𝜕z
𝜕s
3 ts
3
3 2 ts
3
3
 
 
(Resposta - dz/dt)
(Resposta - dz/ds)