Verifique que a função f(x) = |x| é cont́ınua em x0 = 0, mas não existe f ′(0) (mostre que não existe o limite lim ∆x→0 f(0+∆x)−f(0) ∆x ). Mos...

Verifique que a função f(x) = |x| é cont́ınua em x0 = 0, mas não existe f ′(0) (mostre que não existe o limite lim
∆x→0
f(0+∆x)−f(0)
∆x
). Mostre que existem os limites laterais lim
∆x→0+
f(0+∆x)−f(0)
∆x
e lim
∆x→0−
f(0+∆x)−f(0)
∆x
, chamados respectivamente de derivada direita de f no ponto 0 (f ′(0+)) e derivada esquerda de f no ponto 0 (f ′(0−)). Esboce o gráfico de f e interprete geometricamente os fatos deduzidos acima.

Cálculo I

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Progresso com Exercícios

07/12/2023

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8 pág.

Limites laterais

Cálculo I

Jandson Eduardo

💡 1 Resposta

Ed

07.12.2023

Para verificar que a função f(x) = |x| é contínua em x0 = 0, podemos usar a definição de continuidade, que diz que uma função é contínua em um ponto x0 se o limite da função quando x se aproxima de x0 é igual ao valor da função em x0. Assim, temos que lim x→0 |x| = |0| = 0, que é o valor da função em x0. Portanto, f(x) é contínua em x0 = 0. Para mostrar que não existe f'(0), precisamos calcular o limite ∆x→0 (f(0+∆x) - f(0))/∆x. Se ∆x > 0, temos f(0+∆x) - f(0) = |∆x| - 0 = ∆x. Se ∆x < 0, temos f(0+∆x) - f(0) = |-∆x| - 0 = ∆x. Assim, (f(0+∆x) - f(0))/∆x = 1 se ∆x > 0 e -1 se ∆x < 0. Como os limites laterais de f'(0) são diferentes (lim ∆x→0+ (f(0+∆x) - f(0))/∆x = 1 e lim ∆x→0- (f(0+∆x) - f(0))/∆x = -1), concluímos que f'(0) não existe. Geometricamente, podemos interpretar que a função f(x) = |x| é uma "v" invertida, com vértice em x = 0. Os limites laterais da derivada em x = 0 correspondem às inclinações das retas tangentes à curva à esquerda e à direita do vértice. Como essas inclinações são diferentes, a derivada não existe em x = 0.

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