Para o circuito RLC paralelo a seguir, considere 100V a tensão inicial no capacitor e -2A a corrente inicial no indutor. Sendo R=10Ω, L=25mH e C=1m...

Podemos utilizar a equação geral para o circuito RLC paralelo para encontrar a resposta de tensão v(t) para t≥0: v(t) = Vc(t) + Vl(t) + Vr(t) Onde: - Vc(t) é a tensão no capacitor; - Vl(t) é a tensão no indutor; - Vr(t) é a tensão no resistor. Podemos encontrar as expressões para cada uma dessas tensões: Vc(t) = Vc(0)e^(-t/RC) Onde: - Vc(0) é a tensão inicial no capacitor; - R é a resistência do resistor; - C é a capacitância do capacitor. Vl(t) = L(di/dt) Onde: - L é a indutância do indutor; - di/dt é a derivada da corrente em relação ao tempo. Vr(t) = i(t)R Onde: - i(t) é a corrente no circuito. Podemos encontrar a corrente i(t) utilizando a lei das malhas: Vc(t) + Vl(t) + Vr(t) = 0 Substituindo as expressões para Vc(t), Vl(t) e Vr(t), temos: Vc(0)e^(-t/RC) + L(di/dt) + i(t)R = 0 Podemos resolver essa equação diferencial para encontrar a corrente i(t): i(t) = (Vc(0)/R)e^(-t/RC) + (2Vc(0)/sqrt(4LC - R^2))sin(ωt - φ) Onde: - ω = sqrt(1/LC - R^2/4L^2) - φ = arctan((2RωL)/(R^2 - 2Lω^2)) Substituindo os valores dados, temos: ω = 193,65 rad/s φ = -15,49 graus i(t) = (10/25)e^(-t/(10*10^-3*1*10^-3)) + (2*100/sqrt(4*10*10^-3*1*10^-3 - 10^2))sin(193,65t - 15,49) i(t) = 0,4e^(-100t) + 25,82sin(193,65t - 15,49) Agora podemos encontrar a tensão v(t) utilizando as expressões para Vc(t), Vl(t) e Vr(t): Vc(t) = 100e^(-t/(10*10^-3*1*10^-3)) Vl(t) = 0,025(di/dt) Vr(t) = i(t)*10 v(t) = Vc(t) + Vl(t) + Vr(t) v(t) = 100e^(-t/(10*10^-3*1*10^-3)) + 0,025*10(di/dt) + 10(0,4e^(-100t) + 25,82sin(193,65t - 15,49)) v(t) = 100e^(-t/10) + 0,25(di/dt) + 4e^(-100t) + 258,2sin(193,65t - 15,49) Podemos encontrar a expressão para di/dt utilizando a equação da corrente i(t): i(t) = (Vc(0)/R)e^(-t/RC) + (2Vc(0)/sqrt(4LC - R^2))sin(ωt - φ) di/dt = (-Vc(0)/(RC^2))e^(-t/RC) + (2Vc(0)ω/sqrt(4LC - R^2))cos(ωt - φ) Substituindo os valores dados, temos: di/dt = (-100/(10*10^-3*1*10^-3))^2e^(-t/(10*10^-3*1*10^-3)) + (2*100*193,65/sqrt(4*10*10^-3*1*10^-3 - 10^2))cos(193,65t - 15,49) di/dt = -4000e^(-100t) + 517,64cos(193,65t - 15,49) Substituindo a expressão para di/dt na expressão para v(t), temos: v(t) = 100e^(-t/10) + 0,25(-4000e^(-100t) + 517,64cos(193,65t - 15,49)) + 4e^(-100t) + 258,2sin(193,65t - 15,49) v(t) = 100e^(-t/10) - 1000e^(-100t) + 129,41cos(193,65t - 15,49) + 258,2sin(193,65t - 15,49) Portanto, a alternativa correta é a letra D) v(t)=100e-50tcos (193,65t)+25,82e-50tsen(193,65t) V.