Utilizando as metodologias de integração numéricas pela regra do trapézio, regra do trapézio repetido e de Simpson, obtenha aproximações das...

Question

Utilizando as metodologias de integração numéricas pela regra do trapézio, regra do trapézio repetido e de Simpson, obtenha aproximações das integrais das funções dadas. Utilize o erro relativo para avaliar a diferença entre os resultados.

x 0 1 2 3 4

f(x) 0,7 2,6 3,9 2,1 0,2

R ≈ 79, 2

a) f(t) = t3 + 2, I = (−1 , 1) R anaĺıtica: 4,0

b) ∫ 4

1

1
x2
dx. R anaĺıtica: 0,75

c) f(y) = e−y, I = (0 , 1). R anaĺıtica: 1 − e−1

Utilizar as metodologias de integração numérica pela regra do trapézio, regra do trapézio repetido e de Simpson;
Obter aproximações das integrais das funções dadas;
Utilizar o erro relativo para avaliar a diferença entre os resultados.

Ed · Answer

a) Regra do trapézio:
h = (1 - (-1))/2 = 1
I ≈ (h/2) * (f(-1) + 2*f(0) + 2*f(1) + f(2))
I ≈ (1/2) * (4 + 2*0,7 + 2*3,9 + 9 + 2,1)
I ≈ 10,6
Erro relativo = |(4 - 10,6)/4| ≈ 0,65

Regra do trapézio repetido:
h = (1 - (-1))/4 = 0,5
I ≈ (h/2) * (f(-1) + 2*f(-0,5) + 2*f(0) + 2*f(0,5) + 2*f(1) + f(1,5) + f(2))
I ≈ (0,5/2) * (4 + 2*1,6 + 2*0,7 + 2*2,6 + 2*3,9 + 2,1 + 0,2)
I ≈ 5,3
Erro relativo = |(4 - 5,3)/4| ≈ 0,325

Regra de Simpson:
h = (1 - (-1))/2 = 1
I ≈ (h/3) * (f(-1) + 4*f(0) + f(1))
I ≈ (1/3) * (4 + 4*0,7 + 2,6)
I ≈ 2,9
Erro relativo = |(4 - 2,9)/4| ≈ 0,275

b) Regra do trapézio:
h = (4 - 1)/1 = 3
I ≈ (h/2) * (f(1) + f(4))
I ≈ (3/2) * (1 + 0,2)
I ≈ 1,8
Erro relativo = |(0,75 - 1,8)/0,75| ≈ 1,4

Regra do trapézio repetido:
h = (4 - 1)/2 = 1,5
I ≈ (h/2) * (f(1) + f(2,5) + f(4))
I ≈ (1,5/2) * (1 + 2,6 + 0,2)
I ≈ 2,85
Erro relativo = |(0,75 - 2,85)/0,75| ≈ 2,8

Regra de Simpson:
h = (4 - 1)/2 = 1,5
I ≈ (h/3) * (f(1) + 4*f(2,5) + f(4))
I ≈ (1,5/3) * (1 + 4*2,6 + 0,2)
I ≈ 3,35
Erro relativo = |(0,75 - 3,35)/0,75| ≈ 3,47

c) Regra do trapézio:
h = (1 - 0)/1 = 1
I ≈ (h/2) * (f(0) + f(1))
I ≈ (1/2) * (1 + 0,3679)
I ≈ 0,6839
Erro relativo = |(1 - 0,6839)/1| ≈ 0,3161

Regra do trapézio repetido:
h = (1 - 0)/2 = 0,5
I ≈ (h/2) * (f(0) + f(0,5) + f(1))
I ≈ (0,5/2) * (1 + 0,6839 + 0,3679)
I ≈ 0,5259
Erro relativo = |(1 - 0,5259)/1| ≈ 0,4741

Regra de Simpson:
h = (1 - 0)/2 = 0,5
I ≈ (h/3) * (f(0) + 4*f(0,5) + f(1))
I ≈ (0,5/3) * (1 + 4*0,6839 + 0,3679)
I ≈ 0,6321
Erro relativo = |(1 - 0,6321)/1| ≈ 0,3679

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