Demonstrar que as autofunções da hamiltoniana de um átomo de 1 elétron são também autofunções do modulo elevado ao quadrado (L2) do momento angular...

Para demonstrar que as autofunções da hamiltoniana de um átomo de 1 elétron são também autofunções do módulo elevado ao quadrado (L²) do momento angular orbital, podemos utilizar o fato de que o momento angular orbital L é um operador que comuta com a hamiltoniana H do átomo de hidrogênio. Isso significa que as autofunções da hamiltoniana são também autofunções do momento angular orbital. Para determinar os autovalores associados a este operador, podemos utilizar a relação de comutação entre L² e Lz, onde Lz é o operador de projeção do momento angular orbital na direção z. Temos que: [L², Lz] = 0 Podemos então escolher um conjunto de autofunções comuns a L² e Lz, que são as funções de onda esféricas harmônicas Ylm(θ,φ). Essas funções são soluções da equação de Laplace em coordenadas esféricas e possuem autovalores l(l+1) para L² e m para Lz. Portanto, as autofunções da hamiltoniana do átomo de hidrogênio são também autofunções do módulo elevado ao quadrado do momento angular orbital, com autovalores l(l+1).