Usando mudança de variável, calcule ∫∫ Dxy ey−x2 dxdy, sendo Dxy = { (x, y) ∈ R2; 0 ≤ 2x ≤ 1 e − 1 ≤ y − x2 ≤ 1 } . Calcular a integral dup...

Para calcular a integral dupla ∫∫Dxy ey−x² dxdy, podemos fazer a mudança de variáveis x = u e y = u + v². Assim, temos que: 0 ≤ 2x ≤ 1 => 0 ≤ 2u ≤ 1 => 0 ≤ u ≤ 1/2 -1 ≤ y - x² ≤ 1 => -1 ≤ u + v² - u² ≤ 1 => -1 - u + u² ≤ v² ≤ 1 - u + u² Calculando as derivadas parciais, temos: ∂x/∂u = 1 ∂x/∂v = 0 ∂y/∂u = 1 ∂y/∂v = 2v Substituindo na integral, temos: ∫∫Dxy ey−x² dxdy = ∫∫Duv ey−u² (1) dudv Onde Duv é o conjunto de pontos (u,v) que satisfazem as desigualdades acima. Integrando em relação a u, temos: ∫∫Duv ey−u² (1) dudv = ∫0^1 ∫-1-u+u²^1-u+u² ey-u² dvdu Fazendo a mudança de variáveis z = u² - v, temos: ∫0^1 ∫-1-u+u²^1-u+u² ey-u² dvdu = ∫0^1 ∫u²-1^u²+1 ey-z dzdu Integrando em relação a z, temos: ∫0^1 ∫u²-1^u²+1 ey-z dzdu = ∫0^1 [e^(u²+1) - e^(u²-1)] du Fazendo a mudança de variáveis t = u², temos: ∫0^1 [e^(u²+1) - e^(u²-1)] du = ∫0^1 [e^(t+1) - e^(t-1)]/(2√t) dt Essa integral não pode ser resolvida em termos de funções elementares, mas pode ser aproximada numericamente.