Seja B a bola fechada x2 + y2 + z2 ≤ 4. (a) Provar por meio de Mudança de Variáveis que ∫ ∫ B ∫ e3x2+xdV = ∫ ∫ B ∫ e3z2+zdV (b) Calcular ∫ ∫ B ∫ ...

Seja B a bola fechada x2 + y2 + z2 ≤ 4. (a) Provar por meio de Mudança de Variáveis que ∫ ∫ B ∫ e3x2+xdV = ∫ ∫ B ∫ e3z2+zdV (b) Calcular ∫ ∫ B ∫ ex2 + ex2+3z3 dV ∫ ∫ B ∫ ey2 + ez2+3y3dV Solução . As coordenadas no espaço R 3 podem ser dadas pelas variáveis (x, y, z) ou pelas variáveis (u, v, w). (a) Consideramos a mudança de variáveis dada por u = z v = y w = x Observamos que a mudança de variáveis dada transforma a a bola fechada x2 + y2 + z2 ≤ 4 na bola fechada u2 + v2 + w2 ≤ 4. Além disso, | ∂(x,y,z) ∂(u,v,w) | = 1. Logo, ∫ ∫ B ∫ e3x2+xdV = ∫ ∫ B ∫ e3w2+wdudvdw = ∫ ∫ B ∫ e3w2+wdV = ∫ ∫ B ∫ e3z2+zdV (b) Sejam as transformações inversas T−1 1 dada por u = y v = x w = z e T−1 2 dada por u = y v = z w = x Observamos que as duas transformações T1 e T2 levam a bola fechada B na bola fechada B. Além disso, ambos os módulos dos Jacobianos de T1 e T2 são igual a 1. Logo, como acima, temos ∫ ∫ B ∫ ex2 dV = ∫ ∫ B ∫ ey2 dV e ∫ ∫ B ∫ ex2+3z3 dV = ∫ ∫ B ∫ ez2+3y3 dV Logo, ∫ ∫ B ∫ ex2 + ex2+3z3 dV ∫ ∫ B ∫ ey2 + ez2+3y3dV = 1