Calcule o trabalho realizado por uma part́ıcula sob a ação da força F⃗ (x, y) = (y, 2x) que se desloca sobre a curva fechada C = C1 ∪C2, no sent...

Para calcular o trabalho realizado pela partícula sob a ação da força F, podemos utilizar a fórmula do trabalho: W = ∫C F⃗ · dr⃗ Onde F⃗ é o vetor força e dr⃗ é o vetor deslocamento ao longo da curva C. Primeiro, vamos calcular o trabalho ao longo de C1. Como C1 é um segmento de reta, podemos parametrizá-lo como: r(t) = (1-t, t), 0 ≤ t ≤ 1 Assim, o vetor deslocamento é dado por: dr⃗ = r'(t) dt = (-1, 1) dt E o vetor força é dado por: F⃗ (x, y) = (y, 2x) Substituindo as expressões acima na fórmula do trabalho, temos: W1 = ∫C1 F⃗ · dr⃗ = ∫0^1 (t, 2(1-t)) · (-1, 1) dt = ∫0^1 (-t + 2(1-t)) dt = ∫0^1 (1-t) dt = 1/2 Agora, vamos calcular o trabalho ao longo de C2. Como C2 é uma parte da circunferência, podemos parametrizá-la como: r(t) = (1 + cos(t), 1 + sin(t)), 0 ≤ t ≤ π/2 Assim, o vetor deslocamento é dado por: dr⃗ = r'(t) dt = (-sin(t), cos(t)) dt E o vetor força é dado por: F⃗ (x, y) = (y, 2x) Substituindo as expressões acima na fórmula do trabalho, temos: W2 = ∫C2 F⃗ · dr⃗ = ∫0^(π/2) (1 + sin(t), 2(1 + cos(t))) · (-sin(t), cos(t)) dt = ∫0^(π/2) (-sin(t) - 2sin(t)cos(t) + 2cos(t) + 2cos(t)cos(t)) dt = ∫0^(π/2) (-sin(t) - sin(2t) + 2cos(t) + cos(2t)) dt = 2 - √2 Portanto, o trabalho total realizado pela partícula sob a ação da força F é dado por: W = W1 + W2 = 1/2 + 2 - √2 W = 5/2 - √2 Portanto, o trabalho total realizado pela partícula é 5/2 - √2.