2. [3,0] Uma part́ıcula de massa m = 0, 01 Kg está sob a ação de uma força resultante cuja energia potencial é dada por V (x) = 3/4 x + x^2, e...

a) Para calcular a frequência de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável, podemos utilizar a fórmula: f = (1 / 2π) * √(k / m) Onde k é a constante elástica e m é a massa da partícula. No caso, a constante elástica pode ser obtida derivando a energia potencial em relação a x e avaliando-a no ponto de equilíbrio. V'(x) = dV(x) / dx = 3/4 + 2x Para encontrar o ponto de equilíbrio, igualamos V'(x) a zero: 3/4 + 2x = 0 2x = -3/4 x = -3/8 A constante elástica k é dada pela segunda derivada da energia potencial em relação a x: k = d²V(x) / dx² = 2 Substituindo os valores na fórmula da frequência: f = (1 / 2π) * √(2 / 0,01) f ≈ 7,96 Hz Portanto, a frequência de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável é aproximadamente 7,96 Hz. b) Para calcular os pontos de retorno x1 e x2 para uma energia total E = 1 J, podemos utilizar a equação de energia mecânica: E = 1/2 * m * v² + V(x) Sabemos que a energia cinética é zero nos pontos de retorno, então a energia total é igual à energia potencial: E = V(x) Substituindo os valores na equação da energia potencial: 1 = 3/4 * x + x² 4x² + 3x - 4 = 0 Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de x1 e x2: x1 ≈ -1,33 m x2 ≈ 0,75 m Portanto, os pontos de retorno para uma energia total de 1 J são aproximadamente -1,33 m e 0,75 m. c) Para esboçar o gráfico de V(x) perto da origem, podemos calcular alguns pontos e traçar a curva. Vamos calcular V(x) para x = -1, -0,5, 0, 0,5 e 1: V(-1) = 3/4 * (-1) + (-1)² = -1,75 V(-0,5) = 3/4 * (-0,5) + (-0,5)² = -0,375 V(0) = 3/4 * 0 + 0² = 0 V(0,5) = 3/4 * 0,5 + 0,5² = 0,625 V(1) = 3/4 * 1 + 1² = 1,75 Com esses pontos, podemos esboçar o gráfico de V(x) perto da origem, indicando a energia E = 1 J e os pontos de retorno correspondentes.