Quais dos seguintes subconjuntos de Z13 são grupos em relação a multiplicação? Obs.: Lembre-se que a multiplicação em Z13 é definida por x̄...

Para um subconjunto de Z13 ser um grupo em relação à multiplicação, ele deve satisfazer as seguintes propriedades: 1. Fechamento: para quaisquer elementos a e b no subconjunto, o produto ab também está no subconjunto. 2. Associatividade: para quaisquer elementos a, b e c no subconjunto, o produto (ab)c é igual a a(bc). 3. Identidade: deve haver um elemento e no subconjunto, tal que ae = ea = a para todos os elementos a no subconjunto. 4. Inverso: para cada elemento a no subconjunto, deve haver um elemento a^-1 no subconjunto, tal que aa^-1 = a^-1a = e. Vamos verificar cada subconjunto: (a) A = {1̄, 12} - 1̄ · 1̄ = 1̄ e 12 · 12 = 10, que não está em A, portanto A não é fechado em relação à multiplicação. - A não é um grupo. (b) B = {1̄, 2̄, 3̄, 4̄, 6̄, 8̄, 10, 12} - B é fechado em relação à multiplicação, pois o produto de quaisquer dois elementos em B é outro elemento em B. - A multiplicação em Z13 é associativa, portanto B é associativo. - 1̄ é a identidade em Z13, e 1̄ está em B. - Para cada elemento a em B, há um elemento a^-1 em B tal que aa^-1 = a^-1a = 1̄. Por exemplo, 2̄ · 7̄ = 1̄, então 7̄ é o inverso de 2̄ em B. - B é um grupo. (c) C = {1̄, 5̄, 8̄, 12} - C é fechado em relação à multiplicação, pois o produto de quaisquer dois elementos em C é outro elemento em C. - A multiplicação em Z13 é associativa, portanto C é associativo. - 1̄ é a identidade em Z13, e 1̄ está em C. - Para cada elemento a em C, há um elemento a^-1 em C tal que aa^-1 = a^-1a = 1̄. Por exemplo, 5̄ · 9̄ = 1̄, então 9̄ é o inverso de 5̄ em C. - C é um grupo. Portanto, a resposta correta é a letra (b) B e C são grupos.