Um objeto de massa m é lançado com velocidade v0 em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força F = (2,00 i + 3,30 j + 5,30 k) N age sobre o ob...
a) Qual é o trabalho realizado pela força F quando o objeto se desloca de r = (2,00 m) i + (3,00 m) j + (4,00 m) k para r = (5,00 m) i + (6,00 m) j + (8,00 m) k?
b) Qual é a potência média desenvolvida pela força F durante os primeiros 4,00 s de movimento?
c) Qual é o ângulo entre os vetores posição r1 = (2,00 m) i + (3,00 m) j + (4,00 m) k e r2 = (5,00 m) i + (6,00 m) j + (8,00 m) k?
💡 3 Respostas
Ed 
(a) O trabalho realizado pela força F pode ser calculado pela equação W = F . Δr, onde Δr é o deslocamento do objeto. Substituindo os valores, temos: Δr = (5,00 - 2,00) i + (6,00 - 3,00) j + (8,00 - 4,00) k Δr = 3,00 i + 3,00 j + 4,00 k W = (2,00 i + 3,30 j + 5,30 k) . (3,00 i + 3,00 j + 4,00 k) W = 6,00 + 9,90 + 21,20 W = 37,10 J Portanto, o trabalho realizado pela força F é de 37,10 J. (b) A potência média desenvolvida pela força F durante os primeiros 4,00 s de movimento pode ser calculada pela equação P = W / Δt, onde Δt é o intervalo de tempo considerado. Como não sabemos a velocidade do objeto, podemos calcular Δr / Δt para obter a velocidade média: Δr = (5,00 - 2,00) i + (6,00 - 3,00) j + (8,00 - 4,00) k Δr = 3,00 i + 3,00 j + 4,00 k Δt = 4,00 s v = Δr / Δt v = (3,00 / 4,00) i + (3,00 / 4,00) j + (4,00 / 4,00) k v = 0,75 i + 0,75 j + 1,00 k Agora podemos calcular a potência média: P = W / Δt P = 37,10 / 4,00 P = 9,28 W Portanto, a potência média desenvolvida pela força F durante os primeiros 4,00 s de movimento é de 9,28 W. (c) O ângulo entre os vetores posição r1 e r2 pode ser calculado pela equação θ = cos-1((r1 . r2) / (|r1| |r2|)), onde "." representa o produto escalar e "|" representa o módulo do vetor. Substituindo os valores, temos: r1 . r2 = (2,00 x 5,00) + (3,00 x 6,00) + (4,00 x 8,00) r1 . r2 = 10,00 + 18,00 + 32,00 r1 . r2 = 60,00 |r1| = √(2,00² + 3,00² + 4,00²) |r1| = √29,00 |r1| = 5,39 m |r2| = √(5,00² + 6,00² + 8,00²) |r2| = √105,00 |r2| = 10,25 m θ = cos-1((r1 . r2) / (|r1| |r2|)) θ = cos-1(60,00 / (5,39 x 10,25)) θ = cos-1(1,10) θ = 0,47 rad Portanto, o ângulo entre os vetores posição r1 = (2,00 m) i + (3,00 m) j + (4,00 m) k e r2 = (5,00 m) i + (6,00 m) j + (8,00 m) k é de aproximadamente 0,47 rad.
Ednaldo Rodrigues
a) O trabalho realizado pela força �
F ao deslocar um objeto é dado pela integral da força ao longo do caminho percorrido. A expressão geral para o trabalho �
W é dada por:
�=∫�1�2�⋅��
W=∫r1
r2
F⋅dr
Onde �
F é a força e ��
dr é o deslocamento. Neste caso, a força é �=(2.00 �+3.30 �+5.30 �) N
F=(2.00i+3.30j+5.30k)N e o deslocamento é dado pela diferença entre os vetores posição final e inicial.
�2−�1=[(5.00−2.00) �+(6.00−3.00) �+(8.00−4.00) �] m
r2
−r1
=[(5.00−2.00)i+(6.00−3.00)j+(8.00−4.00)k]m
=[3.00 �+3.00 �+4.00 �] m
=[3.00i+3.00j+4.00k]m
Agora, calculamos o trabalho usando o produto escalar:
�=∫�1�2�⋅��=∫�1�2(2.00 �+3.30 �+5.30 �)⋅(3.00 �+3.00 �+4.00 �) ��
W=∫r1
r2
F⋅dr=∫r1
r2
(2.00i+3.30j+5.30k)⋅(3.00i+3.00j+4.00k)dr
�=∫�1�2(6.00+9.90+21.20) ��
W=∫r1
r2
(6.00+9.90+21.20)dr
�=∫�1�237.10 ��
W=∫r1
r2
37.10dr
�=37.10∫�1�2��
W=37.10∫r1
r2
dr
�=37.10(�2−�1)
W=37.10(r2
−r1
)
�=37.10×[3.00 �+3.00 �+4.00 �] J
W=37.10×[3.00i+3.00j+4.00k]J
Ednaldo Rodrigues
(a) O trabalho realizado pela força �
F ao deslocar um objeto é dado pela integral da força ao longo do caminho percorrido. A expressão geral para o trabalho �
W é dada por:
�=∫�1�2�⋅��
W=∫r1
r2
F⋅dr
Onde �
F é a força e ��
dr é o deslocamento. Neste caso, a força é �=(2.00 �+3.30 �+5.30 �) N
F=(2.00i+3.30j+5.30k)N e o deslocamento é dado pela diferença entre os vetores posição final e inicial.
�2−�1=[(5.00−2.00) �+(6.00−3.00) �+(8.00−4.00) �] m
r2
−r1
=[(5.00−2.00)i+(6.00−3.00)j+(8.00−4.00)k]m
=[3.00 �+3.00 �+4.00 �] m
=[3.00i+3.00j+4.00k]m
Agora, calculamos o trabalho usando o produto escalar:
�=∫�1�2�⋅��=∫�1�2(2.00 �+3.30 �+5.30 �)⋅(3.00 �+3.00 �+4.00 �) ��
W=∫r1
r2
F⋅dr=∫r1
r2
(2.00i+3.30j+5.30k)⋅(3.00i+3.00j+4.00k)dr
�=∫�1�2(6.00+9.90+21.20) ��
W=∫r1
r2
(6.00+9.90+21.20)dr
�=∫�1�237.10 ��
W=∫r1
r2
37.10dr
�=37.10∫�1�2��
W=37.10∫r1
r2
dr
�=37.10(�2−�1)
W=37.10(r2
−r1
)
�=37.10×[3.00 �+3.00 �+4.00 �] J
W=37.10×[3.00i+3.00j+4.00k]J
�=[111.30 �+111.30 �+148.40 �] J
W=[111.30i+111.30j+148.40k]J
�≈(111.30 J �+111.30 J �+148.40 J �)
W≈(111.30Ji+111.30Jj+148.40Jk)
(b) A potência média �meˊdia
Pme
ˊ
dia
é dada por:
�meˊdia=�Δ�
Pme
ˊ
dia
=Δt
W
Onde �
W é o trabalho realizado (calculado no item (a)) e Δ�
Δt é o intervalo de tempo. Se Δ�=4.00 s
Δt=4.00s, então:
�meˊdia=(111.30 J �+111.30 J �+148.40 J �)4.00 s
Pme
ˊ
dia
=4.00s
(111.30Ji+111.30Jj+148.40Jk)
�meˊdia≈(27.825 W �+27.825 W �+37.10 W �)
Pme
ˊ
dia
≈(27.825Wi+27.825Wj+37.10Wk)
(c) O coseno do ângulo �
θ entre dois vetores �
A e �
B é dado por:
cos(�)=�⋅�∥�∥⋅∥�∥
cos(θ)=∥A∥⋅∥B∥
A⋅B
Aqui, os vetores posição �1
r1
e �2
r2
são dados por:
�1=(2.00 �+3.00 �+4.00 �) m
r1
=(2.00i+3.00j+4.00k)m
�2=(5.00 �+6.00 �+8.00 �) m
r2
=(5.00i+6.00j+8.00k)m
Então, o vetor diferença �21
r21
entre �2
r2
e �1
r1
é dado por:
[ \mathbf{r}_{21} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1 = [(5.00 - 2.00) , \mathbf{i} + (6.00 - 3.00) , \mathbf{j} + (8.00 - 4.00) , \mathbf{k}] \
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