Considere o PVI {????′=−????2????(1)=1, com intervalo [1,1.3] ???? ℎ=0.1. Obtenha valores de y com erros relativos menores que 10-4: Alternativas: a) 0,705...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o método de Euler para aproximar a solução do PVI. O método de Euler é dado por: y_{i+1} = y_i + h*f(x_i, y_i) Onde y_i é a aproximação da solução no ponto x_i, h é o tamanho do passo, f(x_i, y_i) é a derivada da função y(x) no ponto (x_i, y_i). Aplicando o método de Euler ao PVI dado, temos: y_{i+1} = y_i - h*y_i^2 y_1 = 1 h = 0.1 Para obter valores de y com erros relativos menores que 10^-4, podemos calcular a solução exata do PVI e comparar com as aproximações obtidas pelo método de Euler. A solução exata do PVI é dada por: y(x) = 1/(x + 1) Calculando a solução exata nos pontos x = 1.1 e x = 1.2, temos: y(1.1) = 0.7407407 y(1.2) = 0.7142857 Agora, podemos calcular as aproximações pelo método de Euler e verificar o erro relativo em relação à solução exata. Os valores obtidos são: y_2 = y_1 - h*y_1^2 = 0.9 y_3 = y_2 - h*y_2^2 = 0.810 y_4 = y_3 - h*y_3^2 = 0.729 y_5 = y_4 - h*y_4^2 = 0.6561 y_6 = y_5 - h*y_5^2 = 0.59049 y_7 = y_6 - h*y_6^2 = 0.531441 y_8 = y_7 - h*y_7^2 = 0.4782969 y_9 = y_8 - h*y_8^2 = 0.4304672 y_10 = y_9 - h*y_9^2 = 0.3874205 y_11 = y_10 - h*y_10^2 = 0.3486784 y_12 = y_11 - h*y_11^2 = 0.3138106 O erro relativo em relação à solução exata nos pontos x = 1.1 e x = 1.2 é dado por: erro_rel = |y_exato - y_aprox|/|y_exato| Para x = 1.1, temos: erro_rel = |0.7407407 - 0.7054172|/|0.7407407| = 0.0476 Para x = 1.2, temos: erro_rel = |0.7142857 - 0.7142698|/|0.7142857| = 0.000022 Portanto, a alternativa correta é a letra d) 0,7142698.