19. (Unicamp 98) a) Qual é o valor de — na equação: z¤-5z£+8z-—=0 de modo que z=3 seja uma raiz dessa equação? b) Para esse valor de —, ache as trê...

a) Para encontrar o valor de "—", podemos usar o fato de que "z=3" é uma raiz da equação. Substituindo "z=3" na equação, temos: 3² - 5 x 3 + 8 x — = 0 9 - 15 + 8 x — = 0 -6 + 8 x — = 0 8 x — = 6 — = 6/8 — = 3/4 Portanto, o valor de "—" é 3/4. b) Para encontrar as outras raízes da equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara: z = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a Substituindo os valores na fórmula, temos: z² - 5z + 8z - 3/4 = 0 z² + (31/4)z - 3/4 = 0 a = 1, b = 31/4 e c = -3/4 z� = [-b + √(b² - 4ac)] / 2a z� = [-(31/4) + √((31/4)² - 4 x 1 x (-3/4))] / 2 x 1 z� = [-(31/4) + √(961/16 + 3)] / 2 z� = [-(31/4) + √(1001/16)] / 2 z� = [-(31/4) + (31/4)√(13)/4] / 2 z� = -(31/8) + (31/8)√(13)/4 z� = (31 - 2√(13))/8 z‚ = [-b - √(b² - 4ac)] / 2a z‚ = [-(31/4) - √((31/4)² - 4 x 1 x (-3/4))] / 2 x 1 z‚ = [-(31/4) - √(961/16 + 3)] / 2 z‚ = [-(31/4) - √(1001/16)] / 2 z‚ = [-(31/4) - (31/4)√(13)/4] / 2 z‚ = -(31/8) - (31/8)√(13)/4 z‚ = (31 + 2√(13))/8 c) Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região triangular em torno da reta x=1, podemos usar o método dos discos ou o método das cascas. Vamos usar o método dos discos. O raio do disco é a distância entre a reta x=1 e o ponto z no plano complexo. Essa distância é dada por: r = |z - 1| A altura do disco é a diferença entre as coordenadas x do ponto z e 1. Essa diferença é dada por: h = Re(z) - 1 O volume do disco é dado por: V = πr²h Integrando em relação a z, temos: V = π ∫(z� até z‚) |z - 1|² (Re(z) - 1) dz V = π ∫(z� até z‚) [(x - 1)² + y²] (x - 1) dy V = π ∫(z� até z‚) [(x - 1)³ - (x - 1)y²] dy V = π [(x - 1)³y/3 - (x - 1)y³/3] (z� até z‚) V = π [(x - 1)³(z‚ - z�)/3 - (x - 1)(z‚³ - z�³)/3] Substituindo os valores de z�, z‚ e —, temos: V = π [(2 - 3√(13))/3 - (2 + 3√(13))/3] V = -2π√(13)/3 Portanto, o volume do sólido é -2π√(13)/3.