Dada a equação x¤+6x£-4x+t=0, cujos coeficientes são números inteiros, sabe-se que uma de suas raízes é a média aritmética das outras duas. O produ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a relação entre as raízes de uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros. Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação x² + 6x - 4x + t = 0. Sabemos que r3 é a média aritmética de r1 e r2, ou seja, r3 = (r1 + r2)/2. Pela fórmula de Bhaskara, temos que: r1 + r2 = -6 r1*r2 = -t Substituindo r3 na primeira equação, temos: (r1 + r2)/2 = r3 r1 + r2 = 2r3 Substituindo r1 + r2 na segunda equação, temos: r1*r2 = -t (r1 + r2)^2/4 = r1*r2 (2r3)^2/4 = -t 4r3^2/4 = -t r3^2 = -t Agora, podemos substituir r3^2 na equação r1*r2 = -t: r1*r2 = -r3^2 O produto das raízes é r1*r2*r3: r1*r2*r3 = -r3^3 Substituindo r3^2 = -t, temos: r1*r2*r3 = -r3^3 = -(-t)^(3/2) = t^(3/2) Portanto, o produto das raízes é t^(3/2). Como t é um número inteiro, podemos fatorá-lo em seus divisores primos: t = 2^a * 3^b * p, onde p é um número primo e a e b são inteiros não negativos. Assim, o produto das raízes é: r1*r2*r3 = t^(3/2) = (2^a * 3^b * p)^(3/2) = 2^(3a/2) * 3^(3b/2) * p^(3/2) Como a e b são não negativos, 3a/2 e 3b/2 são inteiros ou semi-inteiros. Portanto, o produto das raízes é um número inteiro positivo. A única alternativa que corresponde a um número inteiro positivo é a letra A) 36.