(Unicamp) Esboce os gráficos das funções y=eÑ, y=e­Ñ e y=eÑ+e­Ñ-3 em um mesmo sistema de eixos ortogonais. Mostre que a equação eÑ+e­Ñ-3=0 tem duas...

Para esboçar os gráficos das funções y=e^x, y=e^-x e y=e^x+e^-x-3, podemos começar analisando o comportamento dessas funções para valores de x muito grandes e muito pequenos. Para y=e^x, quando x tende a infinito, y também tende a infinito. Quando x tende a menos infinito, y tende a zero. Além disso, a função é crescente para todos os valores de x. Para y=e^-x, quando x tende a infinito, y tende a zero. Quando x tende a menos infinito, y tende a infinito. Além disso, a função é decrescente para todos os valores de x. Para y=e^x+e^-x-3, podemos reescrever a função como y=(e^x+e^-x)/2-3/2. Podemos notar que a função é a média aritmética das funções y=e^x/2 e y=e^-x/2, deslocada verticalmente em -3/2 unidades. Quando x tende a infinito ou menos infinito, a função tende a infinito. Além disso, a função é simétrica em relação ao eixo y. Para mostrar que a equação e^x+e^-x-3=0 tem duas raízes reais simétricas x=a e x=-a, podemos utilizar a simetria da função y=e^x+e^-x-3 em relação ao eixo y. Podemos notar que a função corta o eixo x em dois pontos simétricos em relação à origem. Portanto, se a é uma raiz da equação, -a também é uma raiz. Para mostrar que e^a+e^-a=3, podemos utilizar a identidade trigonométrica cosh(x)=(e^x+e^-x)/2. Podemos reescrever a equação como cosh(a)-1=1/cosh(a). Multiplicando ambos os lados por cosh(a), obtemos cosh^2(a)-cosh(a)+1=0. Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos cosh(a)=3/2 ou cosh(a)=1/2. Como cosh(a) é uma função crescente, a única solução possível é cosh(a)=3/2. Portanto, e^a+e^-a=2cosh(a)=3. Como a função é simétrica em relação ao eixo y, podemos concluir que e^-a+e^a=3 também. Somando as duas equações, obtemos e^a+e^-a+e^-a+e^a=6, ou seja, e^a+e^-a=3sqrt(2). Portanto, e^a+e^-a+e^(-a)+e^a=6sqrt(2). Como e^a+e^-a=3, podemos concluir que e^(-a)+e^(a)=3sqrt(2)-3. Portanto, e^0+e^0=2=e^a+e^-a+e^(-a)+e^a-3sqrt(2). Como e^0=1, podemos concluir que e^a+e^-a=3sqrt(2) e e^(-a)+e^(a)=3sqrt(2)-2. Somando as duas equações, obtemos e^a+e^-a+e^(-a)+e^a=6sqrt(2), o que confirma o resultado obtido anteriormente. Portanto, os gráficos das funções y=e^x, y=e^-x e y=e^x+e^-x-3 em um mesmo sistema de eixos ortogonais são: