Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando...

A resposta correta é a alternativa (c) R4/9. Quando a esfera é mergulhada no recipiente, ela desloca uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Como a esfera está totalmente submersa, a altura da água no recipiente aumenta até que o volume da esfera seja igual à quantidade de água deslocada. A altura da água aumenta até um valor h, que é a altura da esfera submersa. A partir daí, a altura da água não aumenta mais. Podemos calcular a altura h da esfera submersa usando o teorema de Pitágoras. O raio da esfera é r, e a altura da água no recipiente antes da esfera ser mergulhada é h0. Então, temos: r^2 = R^2 - (R - h)^2 r^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) r^2 = 2Rh - h^2 h^2 - 2Rh + r^2 = 0 Usando a fórmula de Bhaskara, encontramos: h = R - r * (2)^(1/2) O volume da esfera é dado por: V = (4/3) * pi * r^3 O volume de água deslocado pela esfera é igual à altura da esfera submersa multiplicada pela área da base do recipiente, que é pi * R^2. Então, temos: V = pi * R^2 * h Igualando as duas expressões para V, temos: (4/3) * pi * r^3 = pi * R^2 * (R - r * (2)^(1/2)) Simplificando, temos: r^3 = (3/4) * R^3 - (3/2) * R^2 * r * (2)^(1/2) r^3 + (3/2) * R^2 * r * (2)^(1/2) - (3/4) * R^3 = 0 Resolvendo essa equação cúbica, encontramos: r = R * (4/9)^(1/2) Substituindo esse valor na expressão para h, encontramos: h = R - R * (4/9)^(1/2) * (2)^(1/2) h = R * (1 - (8/9))^(1/2) h = R * (1/9)^(1/2) h = R/3 Portanto, a altura da esfera submersa é R/3, e a altura da água no recipiente aumenta em R/3. Isso significa que a altura final da água é 4R/3. A razão entre a altura final da água e o raio da base do recipiente é: 4R/3 / R = 4/3 A razão entre o raio da esfera e o raio da base do recipiente é: r / R = (4/9)^(1/2) A razão entre a altura final da água e o raio da esfera é: (4/3) / (4/9)^(1/2) = (4/3) * (9/4)^(1/2) = 2 * (3)^(1/2) Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a razão entre o raio da esfera e a altura final da água: (r / R)^2 + ((4/3) / (4/9)^(1/2))^2 = (2 * (3)^(1/2))^2 (r / R)^2 + 4/3 = 12 (r / R)^2 = 8/9 r / R = (8/9)^(1/2) = R4/9 Portanto, a resposta correta é a alternativa (c) R4/9.