Seja S = (1+tg(α)+sec(α))(1+cotg(α)−cossec(α)) . Mostre que o valor de S é um número inteiro para todo valor do ângulo α diferente de kπ2, com k ∈...

Para mostrar que S é um número inteiro, podemos simplificar a expressão e verificar que o denominador é igual a 1. Começando pela expressão (1 + tg(α) + sec(α)), podemos reescrevê-la como (1 + sin(α)/cos(α) + 1/cos(α)) = (cos(α) + sin(α) + 1)/cos(α). Da mesma forma, a expressão (1 + cotg(α) - cossec(α)) pode ser reescrita como (1 + cos(α)/sin(α) - 1/sin(α)) = (cos(α) + 1 - sin(α))/sin(α). Substituindo essas expressões em S, temos: S = [(cos(α) + sin(α) + 1)/cos(α)][(cos(α) + 1 - sin(α))/sin(α)] Simplificando, temos: S = [(cos(α) + 1 + sin(α))/cos(α)][(cos(α) + 1 - sin(α))/sin(α)] S = [(cos²(α) + 2cos(α) + 1 - sin²(α))/cos(α)sin(α)] S = [(2cos(α) + 2)/cos(α)sin(α)] S = 2/sin(α) + 2/cos(α) S = 2csc(α) + 2sec(α) Como csc(α) e sec(α) são números inteiros para todo valor de α diferente de kπ/2, com k ∈ Z, então S é um número inteiro para todo valor de α diferente de kπ/2, com k ∈ Z. Para calcular o valor de S, podemos substituir α por π/4, que é diferente de kπ/2, com k ∈ Z: S = 2csc(π/4) + 2sec(π/4) S = 2(√2/2)^(-1) + 2(√2/2) S = 2√2 + 2√2 S = 4√2 Portanto, o valor de S é 4√2.