Grátis: Seja S = (1+tg(α)+sec(α))(1+cotg(α)−cossec(α)) . Mostre que o valor de S é um número inteiro para todo valor do ângulo α diferente de kπ2, com k ∈...

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Seja S = (1+tg(α)+sec(α))(1+cotg(α)−cossec(α)) .

Mostre que o valor de S é um número inteiro para todo valor do ângulo α diferente de kπ2, com k ∈ Z

e calcule esse valor.

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Para mostrar que S é um número inteiro, podemos simplificar a expressão e verificar que o denominador é igual a 1. Começando pela expressão (1 + tg(α) + sec(α)), podemos reescrevê-la como (1 + sin(α)/cos(α) + 1/cos(α)) = (cos(α) + sin(α) + 1)/cos(α). Da mesma forma, a expressão (1 + cotg(α) - cossec(α)) pode ser reescrita como (1 + cos(α)/sin(α) - 1/sin(α)) = (cos(α) + 1 - sin(α))/sin(α). Substituindo essas expressões em S, temos: S = [(cos(α) + sin(α) + 1)/cos(α)][(cos(α) + 1 - sin(α))/sin(α)] Simplificando, temos: S = [(cos(α) + 1 + sin(α))/cos(α)][(cos(α) + 1 - sin(α))/sin(α)] S = [(cos²(α) + 2cos(α) + 1 - sin²(α))/cos(α)sin(α)] S = [(2cos(α) + 2)/cos(α)sin(α)] S = 2/sin(α) + 2/cos(α) S = 2csc(α) + 2sec(α) Como csc(α) e sec(α) são números inteiros para todo valor de α diferente de kπ/2, com k ∈ Z, então S é um número inteiro para todo valor de α diferente de kπ/2, com k ∈ Z. Para calcular o valor de S, podemos substituir α por π/4, que é diferente de kπ/2, com k ∈ Z: S = 2csc(π/4) + 2sec(π/4) S = 2(√2/2)^(-1) + 2(√2/2) S = 2√2 + 2√2 S = 4√2 Portanto, o valor de S é 4√2.

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Determine o(s) valor(es) real(ais) de x tal(is) que

x =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1 0 0 0

−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 0

0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Determine a soma de todos os valores reais de k para os quais o sistema{ √
x2 + 2x+ 1 + |y − 2| = 1

2

x2 + 36y2 = 2(kx+ 72y)− 140− k2

possui solução única, sabendo que x, y ∈ R.

Sejam os números complexos z1, z2, . . . , zn tais que suas partes reais e imaginárias formam, res-
pectivamente, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica crescentes de números
reais e de mesma razão. Sabe-se que z1 = 2 + 5i e z4 = m(i4m + 5i4m+1) onde m ∈ Z∗
+
e i2 = −1.

Considere Sn =

1

5

n∑
k=1

zk e An =

2

5

n∑
k=1

k.

Calcule o valor de P =

Sn − An

i
+ 1 em função de n.

1

As raízes da equação 4x3 − 40x2 + 129x− 135 = 0 são os comprimentos dos lados de um triângulo
em metros.
Determine a área deste triângulo.

Dado um dodecaedro regular, escolhem-se 3 vértices ao acaso.
Calcule a probabilidade dos 3 vértices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

Seja um triângulo acutângulo IME conforme a figura abaixo tal que IH = IO, onde H e O são
respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triângulo e não pertecentes aos lados.
Calcule o ângulo ĤEO, sabendo que os ângulos ÊIH = 2ĤIO.

Sejam a, b, c números reais maiores que 1. Considere a expressão:

S =

xy + yz + xz + 2(x+ y + z) + 3

(x+ 1)(y + 1)(z + 1)

onde x = logc ab, y = logb ac, z = loga bc.
Prove que o valor de S é um número inteiro e calcule este valor.

Sejam P1 um tetraedro regular e P2 um prisma triangular reto. Ambos os poliedros possuem uma
base comum, e a razão entre as áreas totais de P2 e P1 é 2.
Determine a razão entre os volumes de P2 e P1.

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−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 0

0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

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x2 + 2x+ 1 + |y − 2| = 1

2

x2 + 36y2 = 2(kx+ 72y)− 140− k2

possui solução única, sabendo que x, y ∈ R.

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Calcule a probabilidade dos 3 vértices escolhidos pertencerem a uma mesma face.

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respectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triângulo e não pertecentes aos lados.
Calcule o ângulo ĤEO, sabendo que os ângulos ÊIH = 2ĤIO.

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S =

xy + yz + xz + 2(x+ y + z) + 3

(x+ 1)(y + 1)(z + 1)

onde x = logc ab, y = logb ac, z = loga bc.
Prove que o valor de S é um número inteiro e calcule este valor.

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Seja a equação (36x+ 1)(27x+ 3)(24x+ 6)(18x+ 3) = 189.
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As raízes da equação 4x3 − 40x2 + 129x− 135 = 0 são os comprimentos dos lados de um triânguloem metros.Determine a área deste triângulo.

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Seja um triângulo acutângulo IME conforme a figura abaixo tal que IH = IO, onde H e O sãorespectivamente seus ortocentro e circuncentro, interiores ao triângulo e não pertecentes aos lados.Calcule o ângulo ĤEO, sabendo que os ângulos ÊIH = 2ĤIO.

Sejam a, b, c números reais maiores que 1. Considere a expressão:S =xy + yz + xz + 2(x+ y + z) + 3(x+ 1)(y + 1)(z + 1)onde x = logc ab, y = logb ac, z = loga bc.Prove que o valor de S é um número inteiro e calcule este valor.

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2 −1 0 0 0

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0 −1 2 −1 0

0 0 −1 2 −1
0 0 0 −1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

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xy + yz + xz + 2(x+ y + z) + 3

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