No sistema em malha fechada mostrado na figura acima, a planta G admite a representação em espaço de estados: �̇�1(????) = −3????2(????) − 2????(????), �̇�2...

a) A função de transferência em malha aberta da planta G é: G(s) = Y(s)/U(s) = 1/(s^2 + 2s + 3) b) A função de transferência em malha fechada da referência r para a saída y, em função do parâmetro p do controlador é: H(s) = Y(s)/R(s) = G(s)K(s) / [1 + G(s)K(s)] H(s) = [K(s) / (s^2 + 2s + 3)] / [1 + K(s) / (s^2 + 2s + 3)] c) Para que o sistema em malha fechada seja estável e possua todos os polos sobre o círculo de raio unitário centrado na origem, o parâmetro p do controlador deve ser escolhido de forma que a equação característica do sistema seja dada por: s^2 + 2s + 3 + K(s) = 0 Os polos do sistema em malha fechada são as raízes dessa equação característica. Como queremos que todos os polos estejam sobre o círculo de raio unitário centrado na origem, devemos escolher K(s) de forma que as raízes da equação característica tenham módulo igual a 1. Isso ocorre quando: |s| = 1 |s^2 + 2s + 3| = 1 Ou seja, o módulo do polinômio s^2 + 2s + 3 deve ser igual a 1. Como o módulo de um número complexo é dado por sua distância até a origem, podemos escrever: |(s+1+j)(s+1-j)| = 1 Ou seja, as raízes devem estar sobre a circunferência de raio 1 e centro (-1,0). Portanto, devemos escolher K(s) de forma que as raízes da equação característica sejam iguais a -1+j e -1-j. Isso ocorre quando: K(s) = (s+1-j)(s+1+j) / (s^2 + 2s + 3) K(s) = (s^2 + 2s + 2) / (s^2 + 2s + 3) Assim, o valor do parâmetro p do controlador é p = 2.