Determine as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre (a) (1 + ????)20 (b) (2√3 + 2????)5 (a) (1 + ????)20 (b) (2√3 + 2????)5 A forma polar do núm...
(a) (1 + ????)20
(b) (2√3 + 2????)5
A forma polar do número complexo ???? = 1 + ???? é ???? = √2(cos ????/4 + ????sen ????/4), encontrada no Exercício 12
Pelo Teorema de De Moivre temos: (1 + ????)20 = (√2)20(cos 20????/4 + ????sen20????/4) = 2^20/2 (cos 5???? + ????sen 5????) = 210(cos(5???? − 4????) + ????sen (5???? − 4????)) = 210(cos ???? + ????sen ????) = 210(−1 + ????. 0) = −210
A forma polar do número complexo ???? = 2√3 + 2???? é ???? = 4 [cos ????/6 + ????sen ????/6], encontrada no Exercício 7
(2√3 + 2????)5 = 45 [cos 5????/6 + ????sen 5????/6] = 45 [cos 5????/6 + ????sen 5????/6] = 45 [−√3/2 + 1/2????] = −45√3/2 + 45/2????
Sabemos que se ???? = ???? + ???????? então ???????? = ????????+???????? = ????????(cos???? + ????sen ????)
????1+2???? = ????1. ????2???? = ????(cos 2 + ????sen 2) = ???? cos 2 + ???? ???? sen 2
💡 1 Resposta
Ed 
Para resolver as potências indicadas usando o Teorema de De Moivre, precisamos primeiro encontrar a forma polar dos números complexos dados. (a) A forma polar do número complexo ???? = 1 + ???? é ???? = √2(cos ????/4 + ????sen ????/4), encontrada no Exercício 12. (b) A forma polar do número complexo ???? = 2√3 + 2???? é ???? = 4 [cos ????/6 + ????sen ????/6], encontrada no Exercício 7. Agora, podemos usar o Teorema de De Moivre para encontrar as potências indicadas: (a) (1 + ???? )^20 = (√2)^20(cos 20????/4 + ????sen 20????/4) = 2^10(cos 5???? + ????sen 5????) = 1024(cos 5???? + ????sen 5????) = 1024(cos(5???? - 4????) + ????sen(5???? - 4????)) = 1024(cos ???? + ????sen ????). (b) (2√3 + 2????)^5 = 4^5 [cos 5????/6 + ????sen 5????/6] = 1024(cos 5????/6 + ????sen 5????/6) = 1024(-√3/2 + 1/2????) = -1024√3/2 + 512????. Espero ter ajudado!
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