Sejam a e b dois números naturais, sabendo que o máximo divisor comum entre os dois é 9 e que o produto dos números é 972, o valor máximo de a é ...

O máximo divisor comum entre a e b é 9, e o produto de a e b é 972. Podemos escrever 972 como 2^2 * 3^5. Como o MDC entre a e b é 9, ambos a e b devem ter pelo menos um fator de 3^2 em sua decomposição em fatores primos. Além disso, o produto de a e b deve ser igual a 972, o que significa que a e b devem ter todos os outros fatores primos de 972 em sua decomposição em fatores primos. Assim, podemos escrever a = 3^2 * x e b = 3^2 * y, onde x e y são números naturais que não contêm fatores primos de 3. Temos que a * b = 972, então (3^2 * x) * (3^2 * y) = 972, o que implica que x * y = 36. Para maximizar o valor de a, precisamos maximizar o valor de x. Como x * y = 36, o maior valor possível de x é 36, o que leva a a = 3^2 * 36 = 324. Portanto, a resposta correta é a) 36.