Demonstrate the Pythagorean Theorem. Demonstration by Euclid Demonstration by Chinese Algebraic Demonstration The first demonstration is based on t...

O Teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Demonstração por Euclides: Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB. Construa quadrados sobre cada um dos lados do triângulo. O quadrado construído sobre a hipotenusa é dividido em dois retângulos e um quadrado menor. Os quadrados construídos sobre os catetos são divididos em dois retângulos cada. Os quatro retângulos menores são congruentes e podem ser rearranjados para formar o quadrado menor. Portanto, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Demonstração por chineses: Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB. Construa quatro triângulos retângulos congruentes com catetos iguais aos catetos do triângulo original. Junte esses triângulos para formar um quadrado. O quadrado tem área igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. O quadrado também pode ser dividido em quatro triângulos congruentes, cada um com área igual à metade da área do quadrado. Cada um desses triângulos tem área igual à área de um dos triângulos retângulos construídos anteriormente. Portanto, a área do quadrado é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos. Demonstração algébrica: Considere um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa AB e catetos BC e AC. Os comprimentos dos catetos são a e b, e o comprimento da hipotenusa é c. Podemos escrever a equação c² = a² + b². Podemos também escrever a equação c² - a² = b². Podemos fatorar a diferença de quadrados do lado esquerdo para obter (c + a)(c - a) = b². Podemos fatorar b² em seus fatores primos para obter b² = p₁^α₁ * p₂^α₂ * ... * pₙ^αₙ. Cada fator primo aparece em pares no lado esquerdo da equação, então cada fator primo deve aparecer em pares no lado direito da equação. Portanto, podemos escrever b = q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₘ^βₘ, onde cada qᵢ é um fator primo e cada βᵢ é um número inteiro não negativo. Podemos então escrever c + a = q₁^γ₁ * q₂^γ₂ * ... * qₘ^γₘ e c - a = q₁^δ₁ * q₂^δ₂ * ... * qₘ^δₘ, onde cada γᵢ e δᵢ são números inteiros não negativos. Podemos somar essas duas equações para obter 2c = q₁^γ₁ * q₂^γ₂ * ... * qₘ^γₘ + q₁^δ₁ * q₂^δ₂ * ... * qₘ^δₘ. Cada fator primo aparece em pares no lado direito da equação, então cada γᵢ e δᵢ são ambos pares ou ambos ímpares. Se ambos são pares, podemos dividir ambos os lados da equação por 2 e continuar o processo. Se ambos são ímpares, podemos escrever 2c = 2 mod 4, o que é uma contradição. Portanto, ambos γᵢ e δᵢ são pares, o que significa que podemos escrever c + a = 2p₁^α₁ * p₂^α₂ * ... * pₙ^αₙ e c - a = 2q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₘ^βₘ. Podemos então dividir ambos os lados da equação original por b² para obter (c/b)² = (a/b)² + 1. Portanto, a razão entre a hipotenusa e um dos catetos é igual à raiz quadrada de um número racional. Isso implica que a razão entre a hipotenusa e um dos catetos é um número irracional, o que significa que a área do triângulo é irracional. Portanto, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.