29. Um prisma hexagonal regular teve seus cantos superiores cortados, conforme a figura. A base superior tornou-se um hexágono regular menor e, em ...

O prisma original tinha 6 faces laterais retangulares e 2 bases hexagonais regulares. Ao cortar os cantos superiores, o prisma passou a ter 12 faces triangulares isósceles e 2 bases hexagonais regulares, sendo que uma delas é menor que a outra. A fração do volume retirada do prisma original é igual à diferença entre o volume do prisma original e o volume do prisma resultante, dividido pelo volume do prisma original. O volume do prisma original é dado por V = Ab . h, onde Ab é a área da base e h é a altura. Como o prisma é hexagonal regular, a área da base é dada por Ab = 3√3 . l²/2, onde l é a medida da aresta do hexágono. Já o volume do prisma resultante é dado por V' = Ab' . h', onde Ab' é a área da base menor e h' é a altura do prisma resultante. Como o prisma resultante é hexagonal regular, a área da base menor é dada por Ab' = 3√3 . l'²/2, onde l' é a medida da aresta do hexágono menor. A altura do prisma resultante é igual à altura do prisma original menos a altura do hexágono menor, ou seja, h' = h - (l - l')/2. Substituindo as expressões para Ab, Ab', h e h' nas fórmulas para V e V', temos: V = 3√3 . l²/2 . h V' = 3√3 . l'²/2 . [h - (l - l')/2] A fração do volume retirada é dada por: (V - V')/V = [3√3 . l²/2 . h - 3√3 . l'²/2 . (h - (l - l')/2)] / (3√3 . l²/2 . h) Simplificando a expressão, temos: (V - V')/V = (l - l')/2h Como o prisma original é hexagonal regular, a medida da aresta do hexágono é igual à altura do triângulo equilátero formado por duas arestas consecutivas do hexágono. Portanto, l = √3 . h. Da mesma forma, a medida da aresta do hexágono menor é igual à altura do triângulo equilátero formado por duas arestas consecutivas do hexágono menor. Portanto, l' = √3 . h'. Substituindo as expressões para l e l' em (l - l')/2h, temos: (l - l')/2h = (√3 . h - √3 . (h - (l - l')/2))/2h = √3/2 - 1/4 Portanto, a fração do volume retirada do prisma original é igual a 1 - (√3/2 - 1/4) = 5/4 - √3/2, que é aproximadamente 0,211. A alternativa correta é a letra (B) 1/5.