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Ed 
há 2 anos
Para encontrar as dimensões do retângulo que geram o cilindro de volume máximo, podemos utilizar o seguinte raciocínio: Seja x a medida da base do retângulo e y a medida da altura. Como o perímetro do retângulo é 20, temos: 2x + 2y = 20 x + y = 10 y = 10 - x O volume do cilindro é dado por V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Como o cilindro é gerado pela rotação do retângulo em torno de um de seus lados, temos que o raio da base é igual à metade da medida da base do retângulo, ou seja, r = x/2. Além disso, a altura do cilindro é igual à medida da altura do retângulo, ou seja, h = y. Substituindo as expressões para r e h na fórmula do volume, temos: V = π(x/2)²y V = πx²y/4 Substituindo y por 10 - x, temos: V = πx²(10 - x)/4 V = (π/4)x²(10 - x) Para encontrar o valor máximo de V, podemos derivar a expressão em relação a x e igualar a zero: dV/dx = (π/4)(20x - 3x²) = 0 20x - 3x² = 0 x(20 - 3x) = 0 Portanto, x = 0 ou x = 20/3. Como x representa a medida da base do retângulo, que não pode ser nula, temos que x = 20/3. Substituindo x por 20/3 na expressão para y, temos: y = 10 - x y = 10 - 20/3 y = 10/3 Portanto, as dimensões do retângulo que geram o cilindro de volume máximo são x = 20/3 e y = 10/3.
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Calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam, ao gráfico da função f(x) = (x^3 - 1)/(5x^3 - 20x^2 + 15x).
a) Assíntotas verticais: x = 1/5; Assíntotas horizontais: y = 1/5.
b) Assíntotas verticais: x = 1/5; Assíntotas horizontais: y = 0.
c) Assíntotas verticais: x = 1/5; Assíntotas horizontais: y = 1.
Qual é a altura máxima que o projétil atinge?
(c) A altura máxima que o projétil atinge.
2. (a) Obtenha uma equação para a reta tangente à curva xy = yx, no ponto em que x = 1.
(b) Ache o ponto sobre a curva y = coshx no qual a reta tangente tem inclinação igual a 1.
a) Obtenha uma equação para a reta tangente à curva xy = yx, no ponto em que x = 1.
b) Ache o ponto sobre a curva y = coshx no qual a reta tangente tem inclinação igual a 1.
5. Através das derivadas, estude o que for importante e faça o gráfico de y = 2x2/9− x2.
a) Estudar o que for importante através das derivadas.
b) Fazer o gráfico de y = 2x2/9− x2.
1. Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 1/x2 no ponto (−2, 1/4).
2. Calcule os seguinte limites:
(a) limx→0 tg(x− π)/senx;
(b) limx→∞ (x3 + 2x)2/(2x− 1)3 · (x3 − 1);
(c) limx→π/2 2tgx− secx+ cosx/cosx.
a) limx→0 tg(x− π)/senx;
b) limx→∞ (x3 + 2x)2/(2x− 1)3 · (x3 − 1);
c) limx→π/2 2tgx− secx+ cosx/cosx.
3. Sejam f e g funções cont́ınuas em [−2; 5] tais que limx→−2+ f(x) = 7, limx→−2+ g(x) = 2, limx→5− f(x) = 4 e limx→5− g(x) = 5.
(a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
(b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
(c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
2. Sabendo-se que f ′(x) = 3x2 e que a reta y = 3x é tangente ao gráfico de f em algum ponto, encontre f(x). Observação: Você poderá encontrar mais de uma função com essas caracteŕısticas.
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