4. Um cilindro circular reto é gerado pela rotação de um retângulo de peŕımetro 20 em torno de um de seus lados. Que dimensões deve ter o ret...

Para encontrar as dimensões do retângulo que geram o cilindro de volume máximo, podemos utilizar o seguinte raciocínio: Seja x a medida da base do retângulo e y a medida da altura. Como o perímetro do retângulo é 20, temos: 2x + 2y = 20 x + y = 10 y = 10 - x O volume do cilindro é dado por V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. Como o cilindro é gerado pela rotação do retângulo em torno de um de seus lados, temos que o raio da base é igual à metade da medida da base do retângulo, ou seja, r = x/2. Além disso, a altura do cilindro é igual à medida da altura do retângulo, ou seja, h = y. Substituindo as expressões para r e h na fórmula do volume, temos: V = π(x/2)²y V = πx²y/4 Substituindo y por 10 - x, temos: V = πx²(10 - x)/4 V = (π/4)x²(10 - x) Para encontrar o valor máximo de V, podemos derivar a expressão em relação a x e igualar a zero: dV/dx = (π/4)(20x - 3x²) = 0 20x - 3x² = 0 x(20 - 3x) = 0 Portanto, x = 0 ou x = 20/3. Como x representa a medida da base do retângulo, que não pode ser nula, temos que x = 20/3. Substituindo x por 20/3 na expressão para y, temos: y = 10 - x y = 10 - 20/3 y = 10/3 Portanto, as dimensões do retângulo que geram o cilindro de volume máximo são x = 20/3 e y = 10/3.