Para calcular a integral de linha \( \int_C f \, dr \), precisamos primeiro parametrizar o caminho \( C \) e depois substituir na função \( f \). Dado o caminho \( r(t) = (t, t^2, t^8) \) para \( 0 \leq t \leq 1 \), temos: - \( x = t \) - \( y = t^2 \) - \( z = t^8 \) Agora, substituímos \( x \), \( y \) e \( z \) na função \( f(x, y, z) = x^2yz + xz^2 - 2xy^2 + x - 2(z - 1)\sin(x) \): 1. \( f(t, t^2, t^8) = t^2(t^2)(t^8) + t(t^8)^2 - 2(t)(t^2)^2 + t - 2(t^8 - 1)\sin(t) \) 2. Simplificando cada termo: - \( t^2(t^2)(t^8) = t^{12} \) - \( t(t^8)^2 = t^{17} \) - \( -2(t)(t^2)^2 = -2t^5 \) - \( t \) permanece como está. - \( -2(t^8 - 1)\sin(t) = -2t^8\sin(t) + 2\sin(t) \) Assim, a função se torna: \[ f(t) = t^{12} + t^{17} - 2t^5 + t - 2t^8\sin(t) + 2\sin(t) \] Agora, precisamos calcular \( dr \): \[ dr = \frac{dr}{dt} dt = (1, 2t, 8t^7) dt \] A integral de linha é dada por: \[ \int_C f \, dr = \int_0^1 f(t) \cdot dr \] Calculando o produto escalar: \[ f(t) \cdot dr = f(t)(1, 2t, 8t^7) = f(t) \cdot 1 + f(t) \cdot 2t + f(t) \cdot 8t^7 \] Finalmente, integramos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 f(t) \cdot dr \, dt \] Esse cálculo pode ser complexo e pode exigir o uso de software ou uma calculadora para resolver a integral final. Se precisar de mais ajuda com a parte de cálculo, é só avisar!