5. Dada a função f(x) = x3/(1− x2), sabe-se que f ′(x) = x2(3− x2)/(1− x2)2 e que f ′′(x) = 2x(x2 + 3)/(1− x2)3. Indique os intervalos de crescim...

Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos analisar o sinal da primeira derivada da função f(x). Temos que f'(x) = x²(3 - x²)/(1 - x²)². Para encontrar os pontos críticos, precisamos igualar a primeira derivada a zero e resolver a equação: x²(3 - x²)/(1 - x²)² = 0 x²(3 - x²) = 0 x = 0 ou x = ±√3 Agora, podemos montar a seguinte tabela: | Intervalo | Sinal de f'(x) | |----------|----------------| | (-∞,-√3) | + | | -√3 | 0 | | (-√3,0) | - | | 0 | 0 | | (0,√3) | + | | √3 | 0 | | (√3,+∞) | - | Portanto, a função é crescente em (-∞,-√3) U (0,√3) e decrescente em (-√3,0) U (√3,+∞). O ponto crítico de máximo é x = √3 e o ponto crítico de mínimo é x = -√3. Para encontrar os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e para baixo, precisamos analisar o sinal da segunda derivada da função f(x). Temos que f''(x) = 2x(x² + 3)/(1 - x²)³. Podemos montar a seguinte tabela: | Intervalo | Sinal de f''(x) | |----------|----------------| | (-∞,-1) | - | | (-1,1) | + | | 1 | 0 | | (1,+∞) | - | Portanto, a função é côncava para baixo em (-∞,-1) U (1,+∞) e côncava para cima em (-1,1). O ponto de inflexão é x = 1. Para encontrar as assíntotas, precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de ±∞ e quando x se aproxima de 1 e -1. Temos que: lim f(x) = lim x³/(1 - x²) = ±∞ (quando x se aproxima de ±∞) lim f(x) = ±∞ (quando x se aproxima de 1 ou -1) Além disso, podemos verificar que a função não possui assíntotas oblíquas, pois o grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Agora, podemos traçar o gráfico da função f(x), utilizando as informações obtidas acima. O gráfico será crescente em (-∞,-√3) U (0,√3) e decrescente em (-√3,0) U (√3,+∞), côncavo para baixo em (-∞,-1) U (1,+∞) e côncavo para cima em (-1,1). Haverá um ponto de inflexão em x = 1 e pontos críticos de máximo em x = √3 e de mínimo em x = -√3. A função não possui assíntotas verticais ou oblíquas.