Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões (em cm) que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Qual...

Para minimizar o custo do metal para produzir a lata, precisamos encontrar as dimensões que minimizam a área da superfície da lata. Sabemos que o volume da lata é de 1 litro, ou seja, 1000 cm³. Como a lata é cilíndrica, temos que o volume é dado por V = πr²h, onde r é o raio da base e h é a altura da lata. Podemos isolar h na equação acima e substituir na equação da área da superfície A = 2πr² + 2πrh, obtendo: h = V/πr² A = 2πr² + 2πr(V/πr²) A = 2πr² + 2V/r Para encontrar as dimensões que minimizam a área da superfície, precisamos derivar a equação da área em relação a r, igualar a zero e resolver para r: dA/dr = 4πr - 2V/r² = 0 4πr = 2V/r² r³ = V/2π r = (V/2π)^(1/3) Substituindo o valor de r na equação de h, temos: h = V/π(V/2π)^(2/3) h = 2^(1/3)(V/π)^(1/3) Portanto, as dimensões que minimizam o custo do metal para produzir a lata são: - raio: (V/2π)^(1/3) cm - altura: 2^(1/3)(V/π)^(1/3) cm Substituindo o valor de V = 1000 cm³, temos: - raio: (1000/2π)^(1/3) ≈ 6,20 cm - altura: 2^(1/3)(1000/π)^(1/3) ≈ 11,24 cm Portanto, a alternativa correta é a letra C.