Resolva a equação de diferenças abaixo: yn+1 + yn = n2, y0 = 0. Encontrar a solução da equação de diferenças yn+1 + yn = n2 Encontrar a solução ...

Para resolver a equação de diferenças yn+1 + yn = n², podemos utilizar o método da diferença finita. Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea da equação, que é dada por yn+1 + yn = 0. A solução homogênea é da forma yn = A*(-1)^n, onde A é uma constante a ser determinada pela condição inicial y0 = 0. Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea yn+1 + yn = n². Podemos tentar uma solução particular da forma yn = an² + bn + c, onde a, b e c são constantes a serem determinadas. Substituindo essa solução na equação, temos: (an + 1)² + an² + bn + 1 + bn + c = n² Simplificando, temos: 2an² + 2an + 1 + 2bn + c = n² Igualando os coeficientes de n², n e o termo constante, temos o seguinte sistema de equações: 2a = 1 2b + c = 0 a = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos a = 0, b = -1/2 e c = 1/4. Portanto, uma solução particular da equação é yn = -1/2*n² + 1/4. A solução geral da equação é dada pela soma da solução homogênea e da solução particular, ou seja, yn = A*(-1)^n - 1/2*n² + 1/4. Utilizando a condição inicial y0 = 0, temos: y0 = A*(-1)^0 - 1/2*0² + 1/4 = 0 A = 1/4 Portanto, a solução da equação de diferenças yn+1 + yn = n² que satisfaz a condição inicial y0 = 0 é dada por yn = 1/4*(-1)^n - 1/2*n² + 1/4.