A sequência yn satisfaz uma equação de diferenças linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: yn+2 + byn+1 + cyn = 0. Sabem...

Para encontrar os valores de b e c em função de α, podemos usar as condições iniciais fornecidas. Substituindo y−1 = −1, y0 = 0, y1 = 1, y2 = α na equação de diferenças, obtemos: y1 + by0 + c(-1) = 0 1 + c = 0 c = -1 y2 + by1 + c(0) = 0 α + b(1) = 0 b = -α Portanto, b = -α e c = -1. Para calcular yn em função de α e n, podemos usar a equação característica da equação de diferenças: r^2 + br - c = 0 Substituindo b = -α e c = -1, temos: r^2 - αr + 1 = 0 As raízes dessa equação são: r1 = (α + √(α^2 - 4))/2 r2 = (α - √(α^2 - 4))/2 Portanto, a solução geral da equação de diferenças é: yn = A(r1)^n + B(r2)^n Substituindo as condições iniciais y0 = 0 e y1 = 1, obtemos: A + B = 0 Ar1 + Br2 = 1 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos: A = -1/√(α^2 - 4) B = 1/√(α^2 - 4) Portanto, yn = (-1/√(α^2 - 4))(r1)^n + (1/√(α^2 - 4))(r2)^n. Para determinar para quais valores de α temos lim n→+∞ yn = +∞, precisamos analisar o comportamento das raízes r1 e r2. Se |r1| > 1 e |r2| > 1, então yn cresce exponencialmente e lim n→+∞ yn = +∞. Se |r1| < 1 e |r2| < 1, então yn tende a zero e lim n→+∞ yn = 0. Se |r1| = 1 ou |r2| = 1, então yn cresce ou decresce de forma oscilatória e não há limite para yn. Substituindo as raízes r1 e r2 na expressão para yn, podemos ver que |r1| > 1 e |r2| > 1 se e somente se α > 2. Portanto, para α > 2, lim n→+∞ yn = +∞. Para α ≤ 2, não há limite para yn.