Questão 3) -1,00 ponto(s) CÁLCULO II Suponha que uma lâmina curva, o, com densidade constante, 5(x,y,z) = 50, seja a porção do paraboloide z=x^{2...

Para calcular a massa da lâmina curva, precisamos utilizar a fórmula: m = ∫∫o ρ(x,y,z) dS Onde ρ(x,y,z) é a densidade constante da lâmina, dS é o elemento de área da lâmina e a integral é realizada sobre a superfície da lâmina. No caso da lâmina curva o, temos que a densidade constante é 50 e a lâmina é a porção do paraboloide z=x^2+y^2 abaixo do plano z=1. Podemos escrever a lâmina como: o = {(x,y,z) | x^2+y^2<=1, 0<=z<=x^2+y^2} Assim, podemos escrever a integral da massa como: m = ∫∫o ρ(x,y,z) dS = ∫∫o 50 dS = 50 ∫∫o dS Podemos calcular a integral dupla utilizando coordenadas polares. Temos que: dS = r dr dθ 0 <= r <= 1 0 <= θ <= 2π Assim, temos: m = 50 ∫∫o dS = 50 ∫∫o r dr dθ = 50 ∫0^1 ∫0^2π r dr dθ = 50 ∫0^1 [r^2/2]0^2π dr = 50 ∫0^1 πr^2 dr = 50 π [r^3/3]0^1 = 50 π/3 Portanto, a massa da lâmina é igual a (A) πs0/6(5√5+1).