Questão resolvida - Suponha que a temperatura no ponto (x,y,z) no espaço seja dada por T(x,y,z)=80/(1+x²+2y²+3z²) em que T é medida em graus Celcius e x,y e z em metros. Em que direção no ponto (1,1,-

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Suponha que a temperatura no ponto (x,y,z) no espaço seja dada por 
 em que T é medida em graus Celcius e x, y e z em T x, y, z =( )
80
1 + x² + 2y² + 3z²
metros. Em que direção no ponto (1,1,-2) a temperatura aumenta mais rapidamente? 
Qual é a taxa máxima de aumento?
 
Solução:
 
O vetor gradiente da temperatura T é dado por;
 
𝛻T x, y, z = , ,( )
𝜕T
𝜕x
𝜕T
𝜕y
𝜕T
𝜕z
 
Então, vamos fazer as derivadas parciais , e 
𝜕T
𝜕x
𝜕T
𝜕y
𝜕T
𝜕z
 
T x, y, z = = 80 ⋅ 1 + x² + 2y² + 3z²( )
80
1 + x² + 2y² + 3z²
( )-1
= - 80 ⋅ 2x ⋅ 1 + x² + 2y² + 3z² = -
𝜕T x, y, z
𝜕x
( )
( )-2 →
𝜕T x, y, z
𝜕x
( ) 160x
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
 
= - 80 ⋅ 2 ⋅ 2y 1 + x² + 2y² + 3z² = -
𝜕T x, y, z
𝜕y
( )
( )-2 →
𝜕T x, y, z
𝜕x
( ) 320y
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
 
= - 80 ⋅ 3 ⋅ 2z ⋅ 1 + x² + 2y² + 3z² = -
𝜕T x, y, z
𝜕z
( )
( )-2 →
𝜕T x, y, z
𝜕x
( ) 480z
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
 
Com isso, o vetor gradiente de T é :
 
𝛻T x, y, z = - , - , -( )
160x
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
320y
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
480z
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
 
𝛻T x, y, z = - - -( )
160x
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
i
320y
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
j
480z
1 + x² + 2y² + 3z²( )2
k
 
O vetor gradiente no ponto 1, 1, -2 dá a direção de maior aumento da temperatura, assim :( )
 
 
 
𝛻T 1, 1,-2 = - - -( )
160x
1 + 1 ² + 2 1 ² + 3 -2 ²( ( ) ( ) ( ) )2
i
320y
1 + 1 ² + 2 ⋅1² + 3 -2 ²( ( ) ( ) )2
j
480z
1 + 1 ² + 2 ⋅ 1 ² + 3 -2 ²( ( ) ( ) ( ) )2
k
 
𝛻T 1, 1, -2 = - - -( )
160 ⋅ 1
1 + 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4( )2
i
320 ⋅ 1
1 + 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4( )2
j
480 ⋅ -2
1 + 1 + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 4
( )
( )2
k
 
𝛻T 1, 1, -2 = - - -( )
160
2 + 2 + 12( )2
i
320
2 + 2 + 12( )2
j
-960
2 + 2 + 12( )2
k
 
𝛻T 1, 1, -2 = - - - -( )
160
16( )2
i
320
16( )2
j
960
16( )2
k
 
𝛻T 1, 1, -2 = - - + 𝛻T 1, 1, -2 = - - +( )
160
256
i
320
256
j
960
256
k→ ( )
5
8
i
5
4
j
15
4
k
 
Assim, a temperatura cresce mais na direção do vetor :
 
𝛻T 1, 1, -2 = - - +( )
5
8
i
5
4
j
15
4
k
 
Podemos reescrever este vetor como : 
 
𝛻T 1, 1, -2 = - - + 𝛻T 1, 1, -2 = - - 2 + 6( )
5
8
i
5
4
j
15
4
k→ ( )
5
8
( i j k)
 
Perceba que o vetor - - 2 + 6 é paralelo e tem a mesma direção do vetor ( i j k)
- - 2 + 6 , assim, a afirmação de que a temperatura cresce mais na direção
5
8
( i j k)
do vetor - - 2 + 6 também é valida!( i j k)
 
A taxa máxima de crecimento da temperatura é dada pelo modulo do vetor gradiente no ponto :
 
∣ 𝛻T 1, 1, -2 ∣= ∣ 𝛻T 1, 1, -2 ∣=( ) - + - +
5
8
2
5
4
2
15
4
2
→ ( ) + +
25
64
25
16
225
16
 
∣ 𝛻T 1, 1, -2 ∣= ∣ 𝛻T 1, 1, -2 ∣=( )
25 + 100 + 900
64
→ ( )
1025
64
 
 
 
(Resposta )
1025 = 5 ⋅ 5 ⋅ 41 = 5 ⋅ 41 ∣ 𝛻T 1, 1, -2 ∣=2 → ( )
5 ⋅ 41
64
2
 
𝛻T 1, 1, -2 ∣= ⋅ ≅ 4° C /m( )
5
8
41
 
 
(Resposta )