Suponha que uma lâmina curva, sigma, com densidade constante, seja a porção do paraboloide , abaixo do plano z=1 . É correto afirmar que a massa d...

Para calcular a massa da lâmina curva sigma, é necessário utilizar a fórmula da densidade superficial de massa, que é dada por: σ = ∫∫Σ ρ dS Onde: - σ é a densidade superficial de massa; - Σ é a superfície da lâmina curva sigma; - ρ é a densidade da lâmina curva sigma; - dS é o elemento de área da superfície Σ. Como a lâmina curva sigma é a porção do paraboloide abaixo do plano z=1, sua equação é dada por: z = 1 - x² - y² Para calcular a massa da lâmina, é necessário integrar a densidade superficial de massa em relação à área da superfície Σ: σ = ∫∫Σ ρ dS = ∫∫Σ ρ √(1 + fx² + fy²) dA Onde: - fx e fy são as derivadas parciais de z em relação a x e y, respectivamente. Como a lâmina curva sigma é a porção do paraboloide abaixo do plano z=1, sua superfície Σ é dada por: Σ = {(x, y, z) | x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 - x² - y²} Assim, a massa da lâmina curva sigma é dada por: m = ∫∫Σ σ dS = ∫∫Σ σ √(1 + fx² + fy²) dA Substituindo a densidade superficial de massa σ pela densidade constante ρ, temos: m = ρ ∫∫Σ √(1 + fx² + fy²) dA Calculando as derivadas parciais de z em relação a x e y, temos: fx = -2x fy = -2y Substituindo na integral, temos: m = ρ ∫∫Σ √(1 + 4x² + 4y²) dA Fazendo a mudança de coordenadas para coordenadas polares, temos: m = ρ ∫₀²π ∫₀¹ √(1 + 4r²cos²θ + 4r²sin²θ) r dr dθ Resolvendo a integral, temos: m = ρ ∫₀²π ∫₀¹ √(1 + 4r²) r dr dθ m = ρ ∫₀²π [(1/6)(1 + 4r²)^(3/2)]₀¹ dθ m = ρ (π/3) (5^(3/2) - 1) Portanto, a massa da lâmina curva sigma é igual a ρ (π/3) (5^(3/2) - 1).