calcule a integral indefinida ∫ 3 e 2 x 2 e x ( e x − 2 ) ( e 2 x + 4 ) d x .

Para resolver essa integral, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Primeiro, fazemos a substituição u = ex, e então temos: ∫ e^(2x) * e^x * (e^x - 2) / (e^(2x) + 4) dx = ∫ (e^u)^2 * e^u * (e^u - 2) / (e^(2u) + 4) du = ∫ (e^u - 2 + 2) * (e^u - 2) / (e^(2u) + 4) du = ∫ (e^u - 2) / (e^(2u) + 4) du + 2 ∫ 1 / (e^(2u) + 4) du Para a primeira integral, fazemos a substituição v = e^u, e então temos: ∫ (e^u - 2) / (e^(2u) + 4) du = ∫ (v - 2) / (v^2 + 4) dv = 1/2 ∫ (1 - (2i / (v + 2i))) dv = 1/2 (v - 2ln(v + 2i)) + C = 1/2 (e^u - 2ln(e^u + 2i)) + C = 1/2 (e^x - 2ln(e^x + 2i)) + C Para a segunda integral, fazemos a substituição w = √2e^u, e então temos: 2 ∫ 1 / (e^(2u) + 4) du = 2 ∫ 1 / (w^2 - 2) dw = √2 ∫ 1 / ((w - √2)(w + √2)) dw = (1/√2) ln |(w - √2) / (w + √2)| + C = (1/√2) ln |(√2e^u - √2) / (√2e^u + √2)| + C = (1/√2) ln |(e^u - 1) / (e^u + 1)| + C Substituindo de volta as variáveis u e x, temos: ∫ e^(2x) * e^x * (e^x - 2) / (e^(2x) + 4) dx = 1/2 (e^x - 2ln(e^x + 2i)) + √2/2 ln |(e^x - 1) / (e^x + 1)| + C Portanto, a resposta é: 1/2 (e^x - 2ln(e^x + 2i)) + √2/2 ln |(e^x - 1) / (e^x + 1)| + C