A variável aleatória bem é uma variável aleatória, com função densidade de probabilidade igual a f(x)=kx2f(x)=kx2, com 1≤x≤41≤x≤4. Assinale a alter...

A alternativa correta é a letra C) Apenas a afirmativa III está correta. Explicação: - Para calcular a constante k, é necessário utilizar a propriedade de que a integral da função densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Assim, temos: 1 = ∫1^4 kx^2 dx 1 = k[(4^3)/3 - (1^3)/3] 1 = k[64/3 - 1/3] k = 3/21 = 1/7 - Para calcular a probabilidade de o custo ser menor que 2, é necessário calcular a integral da função densidade de probabilidade no intervalo [1, 2]. Assim, temos: P(X < 2) = ∫1^2 (1/7)x^2 dx P(X < 2) = [(1/7)(2^3)/3] - [(1/7)(1^3)/3] P(X < 2) = 7/21 - 1/21 P(X < 2) = 1/9 Portanto, a afirmativa I está correta. - Para calcular a probabilidade de o custo ser maior do que 3, é necessário calcular a integral da função densidade de probabilidade no intervalo [3, 4]. Assim, temos: P(X > 3) = ∫3^4 (1/7)x^2 dx P(X > 3) = [(1/7)(4^3)/3] - [(1/7)(3^3)/3] P(X > 3) = 64/21 - 27/21 P(X > 3) = 8/9 Portanto, a afirmativa II está incorreta. - Para calcular a variância do custo do produto, é necessário utilizar a fórmula Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. Assim, temos: E(X) = ∫1^4 x(1/7)x^2 dx E(X) = [(1/7)(4^4)/4 - (1/7)(1^4)/4]/[(1/7)(4^3)/3 - (1/7)(1^3)/3] E(X) = 64/21 E(X^2) = ∫1^4 x^2(1/7)x^2 dx E(X^2) = [(1/7)(4^5)/5 - (1/7)(1^5)/5]/[(1/7)(4^3)/3 - (1/7)(1^3)/3] E(X^2) = 256/105 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 Var(X) = 256/105 - (64/21)^2 Var(X) ≈ 3,04 Portanto, a afirmativa III está correta. - Para calcular o custo médio do produto, é necessário utilizar a fórmula E(X) = ∫1^4 x f(x) dx. Assim, temos: E(X) = ∫1^4 x(1/7)x^2 dx E(X) = [(1/7)(4^4)/4 - (1/7)(1^4)/4]/[(1/7)(4^3)/3 - (1/7)(1^3)/3] E(X) = 64/21 ≈ 3,05 Portanto, a afirmativa IV está incorreta. - k foi calculado no início da resolução e é igual a 1/7. Portanto, a afirmativa V está incorreta. Assim, apenas a afirmativa III está correta, e a alternativa correta é a letra C.