Obtenha uma equação livre de parâmetros para a superf́ıcie gerada pela rotação da curva Γ: {x+ y + z = 0 x− y − z = 2} em torno da reta r : X ...

Para obter a equação livre de parâmetros da superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno da reta r, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação vetorial da reta r: r(t) = (-1, 0, 0) + t(0, 0, 1) 2. Encontrar um vetor diretor da reta r: v = (0, 0, 1) 3. Encontrar um vetor normal ao plano que contém a curva Γ: n = (1, 1, 1) x (1, -1, -1) = (2, 2, -2) 4. Encontrar a equação simétrica da reta que passa pela interseção dos planos que contêm a curva Γ: x + y + z = 0 x - y - z = 2 Solução: x = 1 - 2t, y = -t, z = t - 1 5. Encontrar um vetor diretor da curva Γ: v = (1, -1, 0) 6. Encontrar um vetor normal ao plano que contém a reta r e é perpendicular ao vetor diretor da curva Γ: n = v x (0, 0, 1) = (-1, -1, 0) 7. Encontrar a matriz de rotação que leva o vetor (0, 0, 1) no vetor diretor da reta r: cosθ -sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 8. Encontrar a equação vetorial da curva Γ em coordenadas cilíndricas: r(θ) = (cosθ, sinθ, 0) 9. Encontrar a equação vetorial da curva Γ em coordenadas cartesianas: x = cosθ y = sinθ z = 0 10. Aplicar a matriz de rotação à curva Γ em coordenadas cartesianas: x' = cosθ y' = sinθ z' = 0 11. Encontrar a equação vetorial da superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno da reta r: s(θ, t) = (-1 + cosθ, -sinθ, t) 12. Encontrar a equação cartesiana da superfície gerada: (x + 1)^2 + y^2 - z^2 = 1 Portanto, a equação livre de parâmetros da superfície gerada pela rotação da curva Γ em torno da reta r é (x + 1)^2 + y^2 - z^2 = 1.