Encontre uma parametrização para a superf́ıcie de revolução S gerada pela rotação da semi-reta z = x em torno do eixo z e, a partir desta, de...

A semi-reta z = x pode ser parametrizada como r(t) = (t, 0, t), onde t é um parâmetro. Para gerar a superfície de revolução S, rotacionamos essa curva em torno do eixo z. Assim, podemos parametrizar S como: r(u, v) = (v cos(u), v sin(u), v^2) onde u e v são parâmetros. Para encontrar o vetor normal a essa superfície em um ponto genérico, podemos calcular o produto vetorial dos vetores tangentes às curvas que geram a superfície. Esses vetores tangentes são dados por: r_u(u, v) = (-v sin(u), v cos(u), 0) r_v(u, v) = (cos(u), sin(u), 2v) O vetor normal é então dado por: N(u, v) = r_u(u, v) x r_v(u, v) = (-2v^2 cos(u), -2v^2 sin(u), v) Note que esse vetor não tem norma unitária, então podemos dividi-lo pela sua norma para obter o vetor normal unitário: n(u, v) = N(u, v) / ||N(u, v)|| = (-2 cos(u), -2 sin(u), 1) / sqrt(4 + 1) Portanto, a expressão do vetor normal à superfície S em um ponto genérico é n(u, v) = (-2 cos(u), -2 sin(u), 1) / sqrt(5).