Determinar o operador linear T : R2 → R2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos autovetores v1 = (y,−y) e v2 = (0, y), respectivamente. R.: T (x, y) = (x, 2x+ 3y)

Question

Determinar o operador linear T : R2 → R2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos autovetores v1 = (y,−y) e v2 = (0, y), respectivament...

Ed · Answer

Para determinar o operador linear $ T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ com os autovalores e autovetores dados, podemos usar a informação sobre os autovetores e como eles se relacionam com os autovalores.

1. **Autovalor $ \lambda_1 = 1 $** e autovetor $ v_1 = (y, -y) $:
   $$
   T(v_1) = \lambda_1 v_1 = 1 \cdot (y, -y) = (y, -y)
   $$

2. **Autovalor $ \lambda_2 = 3 $** e autovetor $ v_2 = (0, y) $:
   $$
   T(v_2) = \lambda_2 v_2 = 3 \cdot (0, y) = (0, 3y)
   $$

Agora, podemos expressar $ T(x, y) $ em termos de uma base. Vamos considerar a combinação linear dos autovetores:

- Para $ v_1 = (1, -1) $ (tomando $ y = 1 $) e $ v_2 = (0, 1) $:
  $$
  T(1, -1) = (1, -1)
  $$
  $$
  T(0, 1) = (0, 3)
  $$

3. **Construindo a matriz**:
   A matriz $ A $ que representa $ T $ na base canônica pode ser montada a partir da ação de $ T $ sobre os vetores da base canônica $ (1, 0) $ e $ (0, 1) $.

Sabemos que:
   - $ T(1, 0) = T\left(\frac{1}{2}(1, -1) + \frac{1}{2}(1, 1)\right) = \frac{1}{2}T(1, -1) + \frac{1}{2}T(1, 1) $
   - $ T(0, 1) = (0, 3) $

4. **Resultado**:
   A função linear $ T $ pode ser expressa como:
   $$
   T(x, y) = (x, 2x + 3y)
   $$

Portanto, a resposta correta é:
$$
T(x, y) = (x, 2x + 3y)
$$

Ed · Answer

Para determinar o operador linear T, precisamos encontrar sua matriz em relação à base canônica de R2. Como temos os autovalores e autovetores, podemos escrever:

T(v1) = λ1v1
T(y, -y) = 1(y, -y)
T(y, -y) = (y, -y)

T(v2) = λ2v2
T(0, y) = 3(0, y)
T(0, y) = (0, 3y)

Assim, a matriz de T em relação à base canônica é:

[1 0]
[2 3]

Portanto, o operador linear T é dado por T(x, y) = (x, 2x + 3y).

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Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes:
a) v = (−2, 1),
(
2 2
1 3
)
. R.: Sim
b) v = (1, 1, 2),
 1 1 10 2 1
0 2 3
. R.: Sim
c) v = (−2, 1, 3),
 1 −1 02 3 2
1 2 1
. R.: Não

Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador linear T : R2 → R2, associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivamente. Determinar a imagem do vetor v = (4, 1) por esse operador. R.: (8, 11)

O mesmo enunciado para λ1 = 3, λ2 = −2 e v1 = x(1, 2), v2 = x(−1, 0). R.: T (x, y) = (−2x+ 5/2y, 3y)

Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade? R.: λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo

a) λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo
b) λ = 0, todos os vetores do espaço

Se λ1 = 4 e λ2 = 2 são autovalores de um operador linear TR2 → R2, associados aos autovetores u = (2, 1) e v = (−1, 3), respectivamente, determinar T (3u − v). R.: (26, 6)

Seja TR2 → R2 o operador linear definido por
T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y)
a) Determinar uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal. R.: {(−2, 1), (1, 2)}
b) Dar a matriz de T nessa base. R.:
(
9 0
0 −1
)

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Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes:a) v = (−2, 1),(2 21 3). R.: Simb) v = (1, 1, 2), 1 1 10 2 10 2 3. R.: Simc) v = (−2, 1, 3), 1 −1 02 3 21 2 1. R.: Não

Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) são autovetores de um operador linear T : R2 → R2, associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivamente. Determinar a imagem do vetor v = (4, 1) por esse operador. R.: (8, 11)

O mesmo enunciado para λ1 = 3, λ2 = −2 e v1 = x(1, 2), v2 = x(−1, 0). R.: T (x, y) = (−2x+ 5/2y, 3y)

Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade? R.: λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nuloa) λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulob) λ = 0, todos os vetores do espaço

Se λ1 = 4 e λ2 = 2 são autovalores de um operador linear TR2 → R2, associados aos autovetores u = (2, 1) e v = (−1, 3), respectivamente, determinar T (3u − v). R.: (26, 6)

Seja TR2 → R2 o operador linear definido porT (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y)a) Determinar uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal. R.: {(−2, 1), (1, 2)}b) Dar a matriz de T nessa base. R.:(9 00 −1)

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Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes:
a) v = (−2, 1),
(
2 2
1 3
)
. R.: Sim
b) v = (1, 1, 2),
 1 1 10 2 1
0 2 3
. R.: Sim
c) v = (−2, 1, 3),
 1 −1 02 3 2
1 2 1
. R.: Não

Quais são os autovalores e autovetores da matriz identidade? R.: λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo

a) λ = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo
b) λ = 0, todos os vetores do espaço

Seja TR2 → R2 o operador linear definido por
T (x, y) = (7x− 4y,−4x+ y)
a) Determinar uma base do R2 em relação à qual a matriz do operador T é diagonal. R.: {(−2, 1), (1, 2)}
b) Dar a matriz de T nessa base. R.:
(
9 0
0 −1
)