Considere o ponto A = (1, 2,−1) e a reta r : { x + y − z = 1 x + y + 2z = −2 a) Encontre a equação da reta r. b) Calcule a distância entre A e r...

a) Para encontrar a equação da reta r, precisamos encontrar dois pontos que pertencem a ela. Podemos fazer isso resolvendo o sistema formado pelas equações que definem a reta: x + y − z = 1 x + y + 2z = −2 Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: 3z = -3 z = -1 Substituindo z = -1 na primeira equação, temos: x + y = 0 Podemos escolher um valor para x ou y e encontrar o outro. Vamos escolher x = 1: 1 + y = 0 y = -1 Portanto, um ponto que pertence à reta r é (1, -1, -1). Agora, precisamos encontrar um vetor diretor da reta. Podemos fazer isso subtraindo as equações que definem a reta: x + y − z = 1 x + y + 2z = −2 -x - 3z = 3 Um vetor diretor da reta é (-1, -3, 1). Assim, a equação da reta r é: r: (x, y, z) = (1, -1, -1) + t(-1, -3, 1) b) Para calcular a distância entre o ponto A e a reta r, podemos usar a fórmula: d = |(A - P) x u| / |u| Onde P é um ponto qualquer da reta r e u é um vetor diretor da reta. Vamos escolher P = (1, -1, -1) e u = (-1, -3, 1): d = |(A - P) x u| / |u| d = |(1, 2, -1) - (1, -1, -1) x (-1, -3, 1)| / |-1, -3, 1| d = |(0, 3, 0) x (-1, -3, 1)| / sqrt(11) d = |(-3, 0, -9)| / sqrt(11) d = 3sqrt(2) Portanto, a distância entre o ponto A e a reta r é 3sqrt(2). c) Para encontrar a equação da reta s que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r, podemos usar o produto vetorial. O vetor resultante do produto vetorial entre dois vetores perpendiculares é perpendicular a ambos. Assim, podemos escolher um vetor diretor da reta s como sendo o resultado do produto vetorial entre o vetor diretor da reta r e um vetor que liga um ponto qualquer da reta r ao ponto A. Vamos escolher P = (1, -1, -1): v = A - P v = (1, 2, -1) - (1, -1, -1) v = (0, 3, 0) s = u x v s = (-1, -3, 1) x (0, 3, 0) s = (-3, 0, -3) Um ponto que pertence à reta s é o próprio ponto A. Assim, a equação da reta s é: s: (x, y, z) = (1, 2, -1) + t(-3, 0, -3) d) Para encontrar um vetor unitário paralelo à reta s, basta dividir o vetor diretor da reta s pelo seu módulo: u = (-3, 0, -3) / sqrt(18) u = (-sqrt(2)/2, 0, -sqrt(2)/2) Portanto, um vetor unitário paralelo à reta s é (-sqrt(2)/2, 0, -sqrt(2)/2).