Lista Gaal Vetores

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UFMG – GAAL MAT038
Lista de Exerc´ıcios
1. Sejam P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 2, 1), e P = (−1, 4, 1)
a) Demonstre que esses quatro pontos sa˜o coplanares, mas na˜o colineares.
b) Escreva o vetor
−−→
P1P como combinac¸a˜o linear dos vetores
−−−→
P1P2 e
−−−→
P1P3.
2. Seja ax+ by + cz + d = 0 a equac¸a˜o de um plano pi que na˜o passa pela origem e corta os
treˆs eixos.
a) Determine a intersec¸a˜o de pi com os eixos.
b) Se P1 = (p1, 0, 0), P2 = (0, p2, 0) e P3 = (0, 0, p3) sa˜o os pontos de intersec¸a˜o de pi
com os eixos, a equac¸a˜o de pi pode ser posta sob a forma
x
p1
+
y
p2
+
z
p3
= 1
c) Ache o ponto de intersec¸a˜o do plano 2x+ y − z − 3 = 0 com os eixos.
d) Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0) e
C = (0, 0, 3).
3. Considere o ponto A = (1, 2,−1) e a reta
r :
{
x + y − z = 1
x + y + 2z = −2
a) Encontre a equac¸a˜o da reta r.
b) Calcule a distaˆncia entre A e r.
c) Encontre a equac¸a˜o da reta s que passa pelo ponto A e e´ perpendicular a` reta r
d) Encontre um vetor unita´rio paralelo a` reta encontrada no item c)
4. Considere os pontos A = (1, 0, 2), B = (2, 1, 1) e C = (3, 1, 0)
(a) Verifique se A, B e C sa˜o colineares.
(b) Caso eles na˜o sejam colineares, determine a equac¸a˜o do plano que os conte´m.
5. Determine se as retas r1 :

x = 3 − 4t
y = 4 + t
z = 1
t ∈ IR
e
x+ 1
2
=
y − 7
6
=
z − 5
2
sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes e determine o aˆngulo formado por elas.
6. Seja pi1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e pi2 o
plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1), Q = (0, 0, 0) e e´ paralelo ao vetor
−→
i +
−→
j .
Ache o aˆngulo entre pi1 e pi2.
7. Seja pi o plano que passa pela origem e e´ perpendicular a` reta que passa pelos pontos
A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distaˆncia do ponto C = (0, 0, 1) ao plano pi.
8. Determine m,n ∈ R para que a reta (x, y, z) = (n, 2, 0) + t(2,m,m) esteja contida no
plano pi : x− 3y + z = 1.
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