Justifique todas as respostas 1. (1 ponto) Considere a função f(x) = 2(x − 1)3 − (x − 1)4 + 2. a) Encontre os pontos críticos de f. b) Encontre os ...

a) Para encontrar os pontos críticos de f, precisamos encontrar os valores de x onde a derivada de f é igual a zero ou não existe. Derivando f, temos: f'(x) = 6(x-1)^2 - 4(x-1)^3 Igualando a zero, temos: 6(x-1)^2 - 4(x-1)^3 = 0 Simplificando, temos: 2(x-1)^2(3-2(x-1)) = 0 Portanto, os pontos críticos são x = 1 e x = 7/4. b) Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f, precisamos analisar o sinal da derivada de f em cada intervalo entre os pontos críticos. Temos: f'(x) = 6(x-1)^2 - 4(x-1)^3 f'(x) = 2(x-1)^2(3-2(x-1)) O sinal de f'(x) é positivo nos intervalos (-∞,1) e (7/4,∞), e negativo no intervalo (1,7/4). Portanto, f é crescente nos intervalos (-∞,1) e (7/4,∞), e decrescente no intervalo (1,7/4). c) Para encontrar os intervalos de concavidade de f, precisamos analisar o sinal da segunda derivada de f em cada intervalo entre os pontos críticos. Temos: f''(x) = 12(x-1) - 12(x-1)^2 f''(x) = -12(x-1)(x-2) O sinal de f''(x) é negativo no intervalo (1,2), e positivo nos intervalos (-∞,1) e (2,∞). Portanto, f é côncava para baixo no intervalo (1,2), e côncava para cima nos intervalos (-∞,1) e (2,∞). d) Para encontrar o maior valor que a função f assume no intervalo [-1,2], precisamos comparar os valores de f nos pontos críticos e nos extremos do intervalo. Temos: f(-1) = 10 f(1) = 2 f(2) = 6 Portanto, o maior valor que a função f assume no intervalo [-1,2] é 10.