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uame Cálculo 2 Bruno Sérgio Vasconcelos de Araújo1 UFCG/CCT/UAMat 1 UAMat/CCT/UFCG. uame Aula de Remota 1. Método do disco 2. Método do anel 3. Método da casca cilíndrica uame 2. R = {(x , y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ a2}, a > 0; eixo = eixox . uame S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2 A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2) −a ≤ x ≤ a uame S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2 A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2) −a ≤ x ≤ a uame S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2 A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2) −a ≤ x ≤ a uame S(x) é o disco centrado em (x ,0) e raio y , onde x2 + y2 = a2 A(x) = Area de S(x) = πy2 = π(a2 − x2) −a ≤ x ≤ a uame V = ∫ a −a π(a2 − x2)dx = πa2x − πx3 3 ]a −a = π [ a3 − a3 3 − ( −a3 + a3 3 )] = π [ 2a3 − 2a3 3 ] = 4πa3 3 uame V = ∫ a −a π(a2 − x2)dx = πa2x − πx3 3 ]a −a = π [ a3 − a3 3 − ( −a3 + a3 3 )] = π [ 2a3 − 2a3 3 ] = 4πa3 3 uame V = ∫ a −a π(a2 − x2)dx = πa2x − πx3 3 ]a −a = π [ a3 − a3 3 − ( −a3 + a3 3 )] = π [ 2a3 − 2a3 3 ] = 4πa3 3 uame 3. R é a região limitada por y = √ x e as retas y = 1 e x = 4; eixo=reta y = 1. S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y = √ x − 1 A(x) = πy2 = π( √ x − 1)2 = π(x − 2 √ x + 1) 1 ≤ x ≤ 4. uame 3. R é a região limitada por y = √ x e as retas y = 1 e x = 4; eixo=reta y = 1. S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y = √ x − 1 A(x) = πy2 = π( √ x − 1)2 = π(x − 2 √ x + 1) 1 ≤ x ≤ 4. uame 3. R é a região limitada por y = √ x e as retas y = 1 e x = 4; eixo=reta y = 1. S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y = √ x − 1 A(x) = πy2 = π( √ x − 1)2 = π(x − 2 √ x + 1) 1 ≤ x ≤ 4. uame 3. R é a região limitada por y = √ x e as retas y = 1 e x = 4; eixo=reta y = 1. S(x) é o disco de centro em (x ,1) e raio y = √ x − 1 A(x) = πy2 = π( √ x − 1)2 = π(x − 2 √ x + 1) 1 ≤ x ≤ 4. uame V = ∫ 4 1 π(x − 2x1/2 + 1)dx = π [ x2 2 − 4 3 x3/2 + x ]4 1 = 7π 6 uame V = ∫ 4 1 π(x − 2x1/2 + 1)dx = π [ x2 2 − 4 3 x3/2 + x ]4 1 = 7π 6 uame 4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2 y , 1 ≤ y ≤ 4 eixo=eixo y . S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4 uame 4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2 y , 1 ≤ y ≤ 4 eixo=eixo y . S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4 uame 4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2 y , 1 ≤ y ≤ 4 eixo=eixo y . S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4 uame 4. R é a região entre o eixo y e a curva x = 2 y , 1 ≤ y ≤ 4 eixo=eixo y . S(y) é o disco de centro (0, y) e raio x = 2/y A(y) = πx2 = π4/y2 1 ≤ y ≤ 4 uame V = ∫ 4 1 π4y−2dy = −4πy−1|41 = 3π uame 5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3. eixo=reta x = 3. S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2. A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4) − √ 2 ≤ y ≤ √ 2 uame 5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3. eixo=reta x = 3. S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2. A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4) − √ 2 ≤ y ≤ √ 2 uame 5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3. eixo=reta x = 3. S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2. A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4) − √ 2 ≤ y ≤ √ 2 uame 5. R é a região entre a parábola x = y2 + 1 e a reta x = 3. eixo=reta x = 3. S(y) é o disco de centro (3, y) e raio R = 3− (y2 + 1) = 2− y2. A(y) = π(2 − y2)2 = π(4 − 4y2 + y4) − √ 2 ≤ y ≤ √ 2 uame V = ∫ √ 2 − √ 2 π(4 − 4y2 + y4)dy = 64 √ 2 15 uame Método do Anel As seções transversais ortogonais ao eixo são anéis Área do anel = π . (R2 externo − R2 interno) uame Método do Anel As seções transversais ortogonais ao eixo são anéis Área do anel = π . (R2 externo − R2 interno) uame Método do Anel As seções transversais ortogonais ao eixo são anéis Área do anel = π . (R2 externo − R2 interno) uame 6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 eixo=eixo x S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1 A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8) −2 ≤ x ≤ 1 uame 6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 eixo=eixo x S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1 A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8) −2 ≤ x ≤ 1 uame 6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 eixo=eixo x S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1 A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8) −2 ≤ x ≤ 1 uame 6. R é a região limitada pela curva y = x2 + 1 e pela reta y = −x + 3 eixo=eixo x S(x) é o anel centrado em (x ,0) com raio externo R = y = −x + 3 e raio interno r = y = x2 + 1 A(x) = π(R2 − r2) = π((−x + 3)2 − (x2 + 1)2) = π(−x4 − x2 − 6x + 8) −2 ≤ x ≤ 1 uame V = ∫ 1 −2 π(8 − 6x − x2 − x4)dx = 117π 5 uame 7. R é a região entre a parábola y = x2 e a reta y = 2x no 1º quadrante; eixo=eixo y S(y) é o anel centrado em (0, y) com raio externo R = x = √ y e raio interno r = x = y/2; A(y) = π( √ y2 − (y/2)2) = π(y − y2/4) 0 ≤ y ≤ 4 uame V = ∫ 4 0 π(y − y2/4)dy = 8π 3 uame Método da Casca Cilíndrica O método da casca cilíndrica consiste em fatiar sólidos de revolução com cilindros em vez de seções transversais. Os cilindros são tomados com eixo igual ao eixo de rotação do sólido e com raios R e alturas h variáveis de modo a preencher o sólido. uame Caso 1. Seja y = f (x) uma função contínua e não-negativa definida em [a,b]. Suponha que a região entre o gráfico de f e o eixo x gira em torno da reta x = L, onde L ≤ a, gerando um sólido de revolução S. Neste caso vale a fórmula V = ∫ b a 2πR(x)h(x)dx . uame Caso 1. Seja y = f (x) uma função contínua e não-negativa definida em [a,b]. Suponha que a região entre o gráfico de f e o eixo x gira em torno da reta x = L, onde L ≤ a, gerando um sólido de revolução S. Neste caso vale a fórmula V = ∫ b a 2πR(x)h(x)dx . uame 7. R é a região do 1º quadrante limitada entre a parábola y = 3x − x2 eo eixo x . eixo= reta x = −1. uame 0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2 V = ∫ 3 0 2πR(x)h(x)dx = 2π ∫ 3 0 (1 + x)(3x − x2)dx = 2π ∫ 3 0 (3x + 2x2 − x3)dx = 45π 2 . uame 0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2 V = ∫ 3 0 2πR(x)h(x)dx = 2π ∫ 3 0 (1 + x)(3x − x2)dx = 2π ∫ 3 0 (3x + 2x2 − x3)dx = 45π 2 . uame 0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2 V = ∫ 3 0 2πR(x)h(x)dx = 2π ∫ 3 0 (1 + x)(3x − x2)dx = 2π ∫ 3 0 (3x + 2x2 − x3)dx = 45π 2 . uame 0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2 V = ∫ 3 0 2πR(x)h(x)dx = 2π ∫ 3 0 (1 + x)(3x − x2)dx = 2π ∫ 3 0 (3x + 2x2 − x3)dx = 45π 2 . uame 0 ≤ x ≤ 3; R(x) = 1 + x h(x) = y = 3x − x2 V = ∫ 3 0 2πR(x)h(x)dx = 2π ∫ 3 0 (1 + x)(3x − x2)dx = 2π ∫ 3 0 (3x + 2x2 − x3)dx = 45π 2 . uame 8. R é a região limitada pela curva y = √ x , pelo eixo x e pela reta x = 4. eixo=eixo y 0 ≤ x ≤ 4; R(x) = x ; h(x) = √ x V = ∫ 4 0 2πx √ xdx = 2π ∫ 4 0 x3/2dx = 128π 5 uame 8. R é a região limitada pela curva y = √ x , pelo eixo x e pela reta x = 4. eixo=eixo y 0 ≤ x ≤ 4; R(x) = x ; h(x) = √ x V = ∫ 4 0 2πx √ xdx = 2π ∫ 4 0 x3/2dx = 128π 5 uame 8. R é a região limitada pela curva y = √ x , pelo eixo x e pela reta x = 4. eixo=eixo y 0 ≤ x ≤ 4; R(x) = x ; h(x) = √ x V = ∫ 4 0 2πx √ xdx = 2π ∫ 4 0 x3/2dx = 128π 5 uame Caso 2. Similar ao caso 1, más considerando um eixo de rotação horizontal y = L. A fórmula é similar: V = ∫ b a 2πR(y)h(y)dy . uame 9. R mesma região do exemplo anterior; eixo=eixo x 0 ≤ y ≤ 2 R(y) = y h(y) = 4 − y2 V = ∫ 2 0 2πy(4 − y2)dy = 8π uame 9. R mesmaregião do exemplo anterior; eixo=eixo x 0 ≤ y ≤ 2 R(y) = y h(y) = 4 − y2 V = ∫ 2 0 2πy(4 − y2)dy = 8π