Num triângulo ABC, sejam M, N, P, os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Mostre que −−→AN + −−→BP + −−→CM = −−→0.

Para mostrar que −−→AN + −−→BP + −−→CM = −−→0, podemos usar o fato de que os pontos M, N e P são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Podemos escrever −−→AN como −−→AB + −−→BN, onde −−→AB é o vetor que aponta de A para B e −−→BN é o vetor que aponta de B para N. Da mesma forma, podemos escrever −−→BP como −−→BC + −−→CP e −−→CM como −−→CA + −−→AM. Substituindo essas expressões em −−→AN + −−→BP + −−→CM, temos: (−−→AB + −−→BN) + (−−→BC + −−→CP) + (−−→CA + −−→AM) Agrupando os termos semelhantes, temos: (−−→AB + −−→CA) + (−−→BN + −−→CP) + (−−→AM + −−→BC) Observe que −−→AB + −−→CA = −−→AC, −−→BN + −−→CP = −−→BC e −−→AM + −−→BC = −−→AB. Substituindo essas expressões, temos: −−→AC + −−→BC + −−→AB Mas −−→AC = −(−−→CA) e −−→AB = −(−−→BA), então podemos escrever: −−→CA + −−→BC + −−→BA Que é igual a −−→0, pois é a soma dos vetores que formam um triângulo. Portanto, mostramos que −−→AN + −−→BP + −−→CM = −−→0.