Num triângulo ABC é dado X sobre AB tal que ‖−−→AX‖=2.‖−−→XB‖ e é dado Y sobre BC tal que ‖−−→BY‖=3.‖−−→YC‖. Mostre que as retas CX e AY se cort...

Podemos resolver esse problema usando a propriedade de que, em um triângulo, as medianas concorrem em um ponto chamado baricentro. Vamos chamar o ponto de interseção das medianas de G. Primeiro, observe que a razão ‖−−→AX‖/‖−−→XB‖=2 implica que AG mede 2/3 da mediana de A em relação ao lado BC. Da mesma forma, a razão ‖−−→BY‖/‖−−→YC‖=3 implica que CG mede 2/4=1/2 da mediana de C em relação ao lado AB. Agora, vamos traçar a mediana de B em relação ao lado AC e chamá-la de BM. Como as medianas concorrem em G, sabemos que M é o ponto médio de AC. Além disso, como ‖−−→AX‖=2.‖−−→XB‖, sabemos que X é o ponto médio de AB. Portanto, MX é paralelo a BC e mede a metade de BC. Agora, vamos traçar a reta que passa por A e é paralela a CX. Essa reta intersecta BM em um ponto P. Como CX é paralelo a AB, sabemos que AP é paralelo a CX. Além disso, como MX é paralelo a BC, sabemos que AP é paralelo a MY. Agora, observe que ‖−−→AP‖/‖−−→PB‖=‖−−→AY‖/‖−−→YC‖=3/1. Portanto, P é o ponto médio de BM. Mas isso significa que P=G, o baricentro do triângulo ABC. Portanto, CX e AY se intersectam em G.