Usando vetores, normas e produto interno, mostre que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é o dobro da soma dos...

Seja ABCD um paralelogramo, onde AB e CD são os lados paralelos e AD e BC são as diagonais. Podemos representar os vetores AD e BC como a soma dos vetores AB e BD, e AB e CD como a soma dos vetores AD e AC, respectivamente: →AD = →AB + →BD →BC = →BD + →CD →AB = →AD - →BD →CD = →AD - →AC Substituindo AB e CD nas expressões para as diagonais, temos: ‖−→u+−→v‖² + ‖−→u−−→v‖² = (‖−→AD + →BC‖² + ‖−→AD − →BC‖²)/4 = ((‖−→AB + →BD + →BD + →CD‖² + ‖−→AB + →BD − →BD − →CD‖²)/4 = ((‖−→AB + →CD‖² + ‖2→BD‖² + ‖2→BD‖² + ‖−→AB − →CD‖²)/4 = ((‖−→AD‖² + ‖−→BC‖² + 2‖→BD‖²)/2) = 2(‖−→AD‖² + ‖−→BC‖²)/2 = 2‖−→u‖² + 2‖−→v‖² Portanto, a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo é o dobro da soma dos quadrados dos comprimentos dos lados.