Sejam −→u=−→AC e −→w=−→AB vetores representados pelos lados adjacentes do paralelogramo ABCD. Mostre que a altura relativa ao lado AC é ‖−→w−Proj−...

Para mostrar que a altura relativa ao lado AC é ‖−→w−Proj−→u−→w‖²=‖−→w‖²−<−→u,−→w>², podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos vetores −→w, Proj−→u−→w e a altura relativa ao lado AC. Assim, temos: ‖−→w‖² = ‖Proj−→u−→w‖² + ‖−→w−Proj−→u−→w‖² Como a altura relativa ao lado AC é perpendicular a Proj−→u−→w, temos que Proj−→u−→w = Proj−→AC−→w. Substituindo na equação acima, temos: ‖−→w‖² = ‖Proj−→AC−→w‖² + ‖−→w−Proj−→AC−→w‖² + ‖−→w−Proj−→u−→w‖² Note que ‖Proj−→AC−→w‖² = <−→AC,−→w>²/‖−→AC‖² e ‖−→w−Proj−→AC−→w‖² = ‖−→w‖² − ‖Proj−→AC−→w‖². Substituindo na equação acima, temos: ‖−→w‖² = <−→AC,−→w>²/‖−→AC‖² + (‖−→w‖² − <−→AC,−→w>²/‖−→AC‖²) + ‖−→w−Proj−→u−→w‖² Simplificando, temos: ‖−→w−Proj−→u−→w‖² = ‖−→w‖² − <−→AC,−→w>²/‖−→AC‖² Substituindo na expressão da área do paralelogramo ABCD, temos: Area(ABCD) = ‖−→AC‖.‖−→w−Proj−→u−→w‖ = ‖−→AC‖.√(‖−→w‖² − <−→AC,−→w>²/‖−→AC‖²) Simplificando, temos: Area(ABCD) = √(‖−→AC‖².‖−→w‖² − <−→AC,−→w>²) Note que ‖−→AC‖² = <−→u,−→u> e <−→AC,−→w> = <−→u,−→w>. Substituindo na equação acima, temos: Area(ABCD) = √(‖−→u‖².‖−→w‖² − <−→u,−→w>²) Portanto, a expressão da altura relativa ao lado AC é ‖−→w−Proj−→u−→w‖²=‖−→w‖²−<−→u,−→w>² e a área do paralelogramo ABCD é dada por Area(ABCD) = √(‖−→u‖².‖−→w‖² − <−→u,−→w>²).