Um pêndulo simples que consiste de uma massa m presa à ponta de um fio ideal, ou seja, inextensı́vel e de massa desprezı́vel. Em um certo instant...

Question

Um pêndulo simples que consiste de uma massa m presa à ponta de um fio ideal, ou seja, inextensı́vel e de massa desprezı́vel. Em um certo instante, ele é deslocado de sua posição de equilı́brio até uma abertura θM e então abandonado.
Figure 1: Pêndulo simples em uma abertura θ ≤ θM
(a) (0,5 ponto): Escreva a energia total do sistema
(b) (1,0 ponto): Encontre o ângulo θN tal que, neste ângulo de abertura do pêndulo, a energia cinética seja igual à energia potencial
(c) (1,5 ponto): Encontre a velocidade quando θ = θN

Um pêndulo simples que consiste de uma massa m presa à ponta de um fio ideal, ou seja, inextensı́vel e de massa desprezı́vel.
O pêndulo é deslocado de sua posição de equilı́brio até uma abertura θM e então abandonado.
Deve-se escrever a energia total do sistema.
Deve-se encontrar o ângulo θN tal que, neste ângulo de abertura do pêndulo, a energia cinética seja igual à energia potencial.
Deve-se encontrar a velocidade quando θ = θN.

Ed · Answer

(a) A energia total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial. No ponto mais alto do movimento, a energia cinética é zero e a energia potencial é máxima. Portanto, a energia total do sistema é igual à energia potencial máxima, que é dada por:

E = mgh

Onde m é a massa do pêndulo, g é a aceleração da gravidade e h é a altura máxima alcançada pelo pêndulo, que é dada por:

h = L - L*cos(θM)

Onde L é o comprimento do fio e θM é a abertura máxima do pêndulo.

Substituindo h na equação da energia potencial, temos:

E = mgh = mg(L - L*cos(θM)) = mgL(1 - cos(θM))

(b) Para encontrar o ângulo θN em que a energia cinética é igual à energia potencial, igualamos as duas expressões:

1/2 * m * v^2 = mgh

Substituindo h pela expressão encontrada no item (a), temos:

1/2 * m * v^2 = mgL(1 - cos(θN))

Simplificando a equação:

v^2 = 2gL(1 - cos(θN))

θN pode ser encontrando isolando-o na equação:

cos(θN) = 1 - v^2/2gL

θN = arccos(1 - v^2/2gL)

(c) Para encontrar a velocidade quando θ = θN, basta substituir θN na equação encontrada no item (b):

v^2 = 2gL(1 - cos(arccos(1 - v^2/2gL)))

Simplificando a equação:

v^2 = 2gL(1 - (1 - v^2/2gL))

v^2 = 2gL - v^2

2v^2 = 2gL

v = sqrt(gL)

Um pêndulo simples que consiste de uma massa m presa à ponta de um fio ideal, ou seja, inextensı́vel e de massa desprezı́vel. Em um certo instant...

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